Соединения

Две или несколько неподвижно или подвижно соединяемых деталей называют сопрягаемыми. Поверхности, по которым происходит соединение деталей, называют сопрягаемыми поверхностями. Остальные поверхности называются несопрягаемыми (свободными).

В соединениях деталей различают охватывающие и охватываемые поверхности.

Охватывающей поверхностью называется элемент детали с внутренней сопрягаемой поверхностью (отверстие).

Охватываемой поверхностью называется элемент детали с наружной сопрягаемой поверхностью (вал).

Понятия охватываемая и охватывающая поверхности дают более общее определение понятий "вал" и "отверстие".

По форме этих поверхностей различают следующие основные виды соединений: гладкие цилиндрические; гладкие конические; плоские, в которых охватывающие и охватываемые поверхности образованы плоскостями (например, пазы столов металлорежущих станков); резьбовые различной формы, профиля, назначения; шлицевые; шпоночные; зубчатые передачи.

Посадка - характер соединения двух деталей, определяемый разностью их размеров до сборки.

Существуют три разновидности посадок, которые получили название: посадки с зазором; посадки с натягом и переходные посадки.

Посадки с зазором

Посадка с зазором - посадка, при которой всегда образуется зазор в соединении, т. е. наименьший предельный размер отверстия больше наибольшего предельного размера вала или равен ему.

Зазор 5 - это разность между размером отверстия (О) и вала (а1) до сборки, если размер отверстия больше размера вала (рис. 5.5), т. е.

Из формулы (5.9) следует, что для этой разновидности посадок размер отверстия всегда больше или равен размеру вала. Для посадок с зазором характерно то, что поле допуска отверстия располагается выше поля допуска вала.

Рис. 5.5.

Так как размеры вала и втулки могут изменяться в пределах поля допуска, то величина зазора определяется действительными размерами соединяемых деталей.

Наибольший зазор 5тах - это разность между наибольшим предельным размером отверстия и наименьшим предельным размером вала (рис. 5.6, а), т. е.

Наименьший зазор - это разность между наименьшим предельным размером отверстия и наибольшим предельным размером вала (рис. 5.6, а), т. е.

В частном случае наименьший зазор может быть равным нулю. Средний зазор 5" (среднее арифметическое наименьшего и наибольшего зазоров)

Действительный зазор Se - зазор, определяемый Kit к разность действительных размеров отверстия и вала.

Допуск посадки с зазором ITS - сумма допусков отверстия и вала, составляющих соединение. Допуск посадки можно определить так же, как разность между наибольшим и наименьшим зазорами:

Графическое изображение полей допусков для посадок с зазором приведено на рис. 5.7.

Рис. 5.6.

Рис. 5.7.

Посадки с натягом

Посадка с натягом - посадка, при которой всегда образуется натяг в соединении, т. е. наибольший предельный размер отверстия меньше наименьшего предельного размера вала или равен ему. Натяг И- разность размеров вала и отверстия до сборки, если размер вала больше размера отверстия (рис. 5.5, б)

Для посадок с натягом характерно то, что поле допуска вала располагается выше поля допуска отверстия.

Сборка таких деталей обычно производится с помощью пресса. Натяг обычно обозначается буквой N. Величина натяга определяется действительными размерами вала и отверстия.

Рис. 5.8.

Наибольший натяг Ытж - разность между наибольшим предельным размером вала и наименьшим предельным размером отверстия до сборки (см. рис. 5.6, б и 5.8)

Наименьший натяг - это разность между наименьшим предельным размером вала и наибольшим предельным размером отверстия до сборки (рис. 5.8)

Средний натяг Ыт - среднее арифметическое наибольшего и наименьшего натягов

Действительный натяг Ne - натяг, определяемый как разность между действительными размерами вала и отверстия до сборки.

Допуск посадки с натягом ITN - разность между наибольшим и наименьшим натягами

т. е. допуск посадки с натягом равен сумме полей допусков отверстия и вала, составляющих соединение.

Посадки с натягом используются в тех случаях, когда необходимо передать крутящий момент или (и) осевую силу в основном без дополнительного крепления за счет сил трения, создаваемых натягом.

Графическое изображение расположения полей допусков для посадок с натягом приведено на рис. 5.9.

Рис. 5.9.

Переходные посадки

В этой группе посадок возможно получение как зазора, так и натяга в зависимости от действительных размеров отверстия и вала (рис. 5.10). Характерной особенностью переходных посадок является частичное перекрытие полей допусков вала и отверстия.

Переходные посадки характеризуются наибольшим натягом и 5^. Для определения наибольшего натяга и наибольшего зазора можно воспользоваться формулами (5.17); (5.18) и (5.10); (5.11).

Допуск переходной посадки /77^5 определяется по формуле

Рис. 5.10.

Перепишем формулу (5.16) таким образом: -(В - а). Выражение в скобках является зазором (5.9). Тогда можно записать ЛГ = -5, т. е. натяг есть отрицательный зазор. Минимальный отрицательный зазор является максимальным натягом, а минимальный отрицательный натяг - максимальным зазором, т. е. справедливы следующие соотношения:

С учетом (5.24) и (5.25) формулу (5.23) можно переписать следующим образом:

т. е. допуск посадки равен сумме полей допусков вала и отверстия, составляющих соединение.

Графическое изображение полей допусков в переходных посадках приведено на рис. 5.11.

Примеры определения предельных размеров, допусков, зазоров и натягов в соединениях при различных видах посадок

Посадка с зазором

Номинальный размер вала 100 мм, нижнее отклонение вала в--160 мкм (-0,106 мм), верхнее отклонение вала е$ - -60 мкм (-0,06 мм).

Номинальный размер отверстия 100 мм, нижнее отклонение отверстия £7= +72 мкм (+0,072 мм), верхнее отклонение отверстия £5_ +159 мкм (+0,159 мм). Графическое представление этой посадки приведено на рис. 5.12.

Рис. 5.11.

Рис. 5.12.

Рис. 5.13.

Допуск посадки (зазора)

Посадка с натягом

Пример. Номинальный размер вала 100 мм, нижнее отклонение вала е ~ 72 мкм (0,072 мм), верхнее отклонение вала е$~ 159 мкм (0,159 мм).

Номинальный размер отверстия 100 мм, нижнее отклонение отверстия

£7= -106 мкм (-0,106 мм), верхнее отклонение отверстия £5--60 мкм (-0,060 мм).

Графическое представление этой посадки приведено на рис. 5.13.

Решение. Наибольший предельный размер вала d^

dmax=d + es= 100+ (0,159) = 100,159 мм. Наименьший предельный размер вала dm.n

4™= d + "= I* + (0,072) = 100,072 мм. Поле допуска вала

Td = 4™, ~ 4*п= Ю0,159 - 100,072 = 0,087 мм

lTd = es- ei = 0,159 - 0,072 = 0,087 мм. Наибольший предельный размер отверстия

Omw = D + ES= 100 + (-0,060) = 99,940 мм. Наименьший предельный размер отверстия

Dmin= D+ Е1= 100 + (-0,106) = 99,894 мм.

Определим поле допуска отверстия

"™ = Ом" " Яя1а= 99,940 - 99,894 = 0,046 мм

• 1ТО = £5 - £/ = -0,060 - (-0,106) = 0,046 мм. Максимальный натяг в соединении
• 4™- 4™ = 100,159-99,894 = 0,265 мм

N"1= Е1= 0,159- (-0,106) =0,265 мм. Минимальный натяг в соединении

4ы"" А"* = Ю0.072 - 99,940 = 0,132 мм

^п"п = е" ~ £У= О"072 ~ (-0,060) = 0,132 мм. Допуск посадки (натяга)

ПИ = - Ыя.т = 0,265 - 0,132 = 0,133 мм

ГГЫ = т + 1Тй = 0,087 + 0,046 = 0,133 мм.

Переходная посадка

Пример. Номинальный размер вала 100 мм, нижнее отклонение вала а - +71 мкм (+0,071 мм), верхнее отклонение вала е$~ +93 мкм (+0,093 мм).

Номинальный размер отверстия 100 мм, нижнее отклонение отверстия £7= +72 мкм (+0,072 мм), верхнее отклонение отверстия £5_ +159 мкм (+0,159 мм). Графическое представление этой посадки приведено на рис. 5.14.

Решение. Наибольший предельный размер вала дтзх

4™, = ^ + Ю0 + 0,093 = 100,093 мм. Наименьший предельный размер вала ёт,"

Поле допуска вала

/Тс/ = с/^-с/^п = 100,093 - 100,071 = 0,022 мм

Рис. 5.14.

т = & - в! = 0,093 - 0,071 = 0,022 мм. Наибольший предельный размер отверстия

Ош = О + £5= 100 + 0,159 = 100,159 мм. Наименьший предельный размер отверстия

Ою.т= й + Е1= 100 + 0,072 = 100,072 мм. Поле допуска отверстия

/77) = Отая - йя1а = 100,159 - 100,072 = 0,087 мм

/77) = £5- £7 = 0,159 - 0,072 = 0,087 мм. Максимальный зазор в соединении

5"""= А™," 4-"= 100,159 - 100,071 =0,088 мм

= £5- е!= 0,159 - 0,071 = 0,088 мм. Максимальный натяг в соединении

4Ж- /)м(п = 100,093 - 100,072 = 0,021 мм

М*,*, = ез-ЕГ= 0,093 - 0,072 = 0,021 мм. Допуск посадки (зазора-натяга)

/77У5 = 5^ + 0,088 + 0,021 = 0,109 мм

/7Ж = т + /77) - 0,022 + 0,087 - 0,109 мм.

Условия существования дуги

Газы и пары материалов состоят из нейтральных атомов и молекул, а потому не электропроводны. Газовая среда становится проводником электрического тока при возникновении в ней электрически заряженных частиц – электронов и ионов, т.е. когда газ ионизирован (полностью или частично).

Ионизация – образование из атомов положительных или отрицательных ионов.

В процессе существования дугового разряда катодное пятно эмитирует (испускает) электроны, которые под действием электрического поля движутся к аноду. Энергия, затраченная на испускание одного электрона, называется работой выхода . При сварке плавящимся электродам эту энергию получают за счет теплоты, выделяющейся на торце электрода при прохождении тока короткого замыкания в момент кратковременного касания электродом изделия. Электроны разгоняются электрическим полем в катодном пространстве и приобретают энергию, необходимую для ионизации нейтральных атомов при столкновении с ними, по схеме.

ē → А 0 = А + +2ē

где: А 0 – нейтральный атом; ē – заряд электрона, равный 1,59∙10 -19 Кл (Кулона); А + - положительный ион.

Таким образом, для возникновения электрической дуги необходимы условия:

Эмиссия электронов с поверхности катода;

Объемная ионизация в межэлектродном пространстве (дуговом промежутке);

Наличие разности потенциалов.

В столбе дуги, наряду с ионизацией, происходит обратный процесс, называемый рекомбинацией, т.е. образование нейтральных частиц при взаимодействии положительных ионов с электронами. При рекомбинации затраченная на ионизацию энергия, выделяется в виде мощного потока инфракрасного, светового и ультрафиолетового излучения.

ē → А + = А 0 + Q + hυ

где: Q – теплота, идущая на нагрев столба дуги; h – постоянная планка, эрг/с; υ – частота колебаний, I/с.

Возбуждение дуги можно осуществить способами:

Коротким замыканием электрода на деталь;

Путем приложения к электродам высокого напряжения.

В первом случае происходит нагрев катода до высокой температуры, благодаря чему после размыкания возникает электронная эмиссия и, как следствие, ионизация газового промежутка.

Во втором случае параллельно электрической цепи подключают специальный прибор – осциллятор, подающий на дуговой промежуток импульсы высокого напряжения 2…15 кВ с частотой 50…160 кГц, но малой мощности. Высокая частота устраняет опасность поражения сварщика током высокого напряжения.

Статическая вольт - амперная характеристика

сварочной дуги

Статической вольт - амперной характеристикой (ВАХ) дуги является зависимость напряжения дуги от величины сварочного тока при устойчивом ее горении и заданных постоянных условиях.

Устойчивое горение дуги – это возможность гореть не ограниченное время при заданных условиях или время сосуществование дуги не соизмеримо велико со временем протекания в ней переходных процессов.

К заданным условиям относятся длина дуги (расстояние между электродами или основным металлом и электродом), диаметр электрода, материал электрода и основного металла, а так же среда, в которой горит дуга (рис.2).

ВАХ дуги имеет три ярко выраженных участка.

Первый участок – падающий . (а-б)

При малых токах и повышенном напряжении дуга перемещается, т.е. анодное пятно меняет место, и столб дуги не прямолинейный.

Рис. 2 Статистическая вольт – амперная характеристика дуги.

При малых токах и повышенном напряжении дуга перемещается, т.е. анодное пятно меняет место, и столб дуги не прямолинейный. С ростом тока столб дуги спрямляется и резко возрастает его проводимость, в результате него напряжение на дуге падает.

Второй участок – горизонтальный .(б-в)

Столб дуги прямолинейный, анодное пятно фиксируется. С ростом тока увеличивается проводимость столба за счет роста диаметра столба дуги и катодного – анодного пятна до диаметра электрода при этом напряжение на дуге практически остается постоянным.

Третий участок– возрастающий .(в-г)

Катодное и анодное пятно не растет с увеличением тока дуги. Проводимость и сопротивление ее остаются постоянными, в тоже время напряжение на дуге растет. На данном участке ВАХ выполняется закон Ома. Изменение ВАХ дуги в зависимости от условий горения дуги представлено на рис. 3.

Рис 3. Статическая вольт-амперная характеристика дуги при изменении а- длины дуги l g и б- диаметра электрода dэл.

Температура в дуге

Дуга постоянного тока характеризуется неодинаковым выделением тепла на аноде и катоде. Данные о температуре катодного и анодного пятен в зависимости от материала электродов при горении дуги в воздухе приведены в табл. 1.

Таблица 1

Температуры анодных и катодных пятен для различных материалов.

Анализ таблицы 1 показывает, что при открытых дугах, горящих в воздухе, анод нагревается интенсивнее, чем катод. Это позволяет судить о полярности электродов по степени нагрева анода и катода при горении дуги.

Тема: «Посадки, характеристика посадок, графическое изображение посадок в системе отверстия, в системе вала».

1.Сопрягаемые и несопрягаемые поверхности.

2.Характеристика посадок.

3.Зазор и условия его образования.

4.Натяг и условия его образования.

5.Графическое изображение посадок в системе вала, в системе отверстия.

6.Определение группы посадки по чертежам сопрягаемых деталей.

Все разнообразные машины, станки, приборы, механизмы состоят из деталей, имеющих сопрягаемые и несопрягаемые поверхности.

Сопрягаемые поверхности – это поверхности, по которым детали соединяются в сборочные единицы (узлы).

^ Несопрягаемые (свободные) – это конструктивно необходимые поверхности, не предназначенные для соединения с поверхностями других деталей.

Конструкции соединений деталей и требования к ним могут быть различными. В зависимости от назначения соединения конструктивные элементы деталей с сопрягаемыми поверхностями, имеющими одинаковый номинальный размер, должны во время работы механизма или машины либо обеспечить возможность движения деталей друг относительно друг друга.

Для обеспечения подвижности соединения нужно, чтобы действительный размер охватывающего элемента одной детали (отверстия) был больше действительного размера охватываемого элемента другой детали (вала). Разность действительных размеров отверстия и вала, если размер отверстия больше размера вала, называется зазором.

Для получения неподвижного соединения нужно, чтобы действительный размер охватываемого элемента одной детали (вала) был больше действительного размера охватывающего элемента другой детали (отверстия). Разность действительных размеров вала и отверстия до сборки, если размер вала больше размера отверстия, называется натягом.

Сопряжение, образуемое в результате соединения отверстий и валов (охватывающих и охватываемых элементов деталей) с одинаковыми номинальными размерами, называют посадкой .

Посадка – это характер соединения деталей, определяемый величиной получающихся в нем зазоров или натягов.

Поскольку действительные размеры годных отверстий и валов в партии деталей, изготовленных по одним и тем же чертежам, могут колебаться между заданными предельными размерами, то, следовательно, и величина зазоров и натягов может колебаться в зависимости от действительных размеров сопрягаемых деталей. Поэтому различают наибольший и наименьший зазоры и соответственно наибольший и наименьший натяги.

Наибольший зазор S=D- d

Наименьший зазор S=D- d

Где D, D- наибольший и наименьший предельный размер отверстия

D, d- наибольший и наименьший предельный размер вала

Наибольший натяг N= d- D

Наименьший натяг N= d- D

Пример: 1 На чертеже отверстия указан размер 50
, а на чертеже вала – размер 50
.Проведем необходимые расчеты.

Предельные размеры отверстия, мм: наибольший 50,0+0,02=50,02; наименьший 50,00.

Предельные размеры вала, мм: наибольший 50,00-0,03=49,97; наименьший 50,00-0,06=49,94.

Зазор, мм: наибольший 50,02-49,94=0,08; наименьший 50,0-49,97=0,03.

Пример 2 . На чертеже отверстия указан размер 50+ 0 - 02 , а на чертеже вала - размер 50

Предельные размеры отверстия, мм: наибольший 50,00+0,02-=50,02; наименьший 50,00.

Предельные размеры вала, мм: наибольший 50,00+0,05=50,05; наименьший 50,00+0,03=50,03.

Натяг, мм: наибольший 50,05-50,00 = 0,05; наименьший 50,03-50,02=0,01.

Построение схемы посадки начинается с проведения нулевой линии, соответствующей номинальному размеру соединения (номинальные размеры отверстия и вала, составляющих соединение, или, что то же самое, образующих посадку, одинаковы). От нулевой линии, единой для отверстия и вала, откладывают в выбранном масштабе с учетом знаков величины предельных отклонений отверстия и вала; между линиями, соответствующими верхним и нижним отклонениям, получаем поля допусков сопрягаемых отверстия и вала. И, наконец, в соответствии с приведенными выше определениями выявляются на схемах наиболь­шие и наименьшие зазоры и натяги

Наименьший зазор S mih

" На ибольший -зазор

* тах

Наибольший зазор S ma

На рисунке видно, что при графическом изображении посадки с зазором поле допуска отверстия располагается над полем допуска вала, т. е. размеры годного отверстия всегда больше размеров годного вала, как и было отмечено ранее при введении понятия «зазор».

Наименьшии ий натяг /Улнп

Наибольший натяг N max /Ушах

Точно так же на рисунке видно, что при графическом изображении посадки с натягом поле допуска отверстия расположено под полем допуска вала, т. е.

размеры годного отверстия всегда меньше размеров годного вала, как и было отмечено ранее при введе­нии понятия «натяг».

Приведенные выше числовые примеры и соответствующие им графические построения не исчерпывают всех возможных групп посадок. Наряду с посадками с зазором и посадками с натягом, когда зазор или соответственно натяг в соединении гарантируется сопряжением любых годных отверстий и валов, возможен и такой вариант, когда предельные размеры сопрягаемых деталей не гарантируют получение в сопряжении только зазора или только натяга. Такие посадки называются переходными. В этом случае возможно получение, как зазора, так и натяга, конкретный характер соединения будет зависеть от действительных размеров сопрягаемых годных отвер­стий и валов. Покажем это на примере.

Пример 3 . На чертеже отверстия указан размер 50 +0,02 , а на чертеже вала -50
. Проведем необходимые расчеты.

Предельные размеры отверстия, мм: наибольший 50,00+0,02=50,02; наименьший 50,00.

Предельные размеры вала, мм: наибольший 50,00+0,03=50,03; наименьший 50,00+0,01=50,01.

Если представить соединение отверстия, имеющего наибольший предельный размер, с валом, имеющим наименьший предельный размер, то образуется посадка с зазором, так как отверстие больше вала, при этом зазор будет наибольшим и равным 50,02-50,01=0,01 мм.

Если же представить соединение отверстия, имеющего наименьший предельный размер, с валом, имеющим наибольший предельный размер, то образуется посадка с натягом, так как вал больше отверстия, при этом натяг будет наибольшим и равным 50,03-50,00=0,03 мм.

натяг /Nтах

При графическом изображении переходной посадки поля допусков

отверстия и вала перекрываются, т. е. размеры годного отверстия могут оказаться и больше и меньше размера годного вала, что и не позволяет заранее, до изготовления пары сопрягаемых деталей, сказать, какая будет посадка - с зазором или натягом.

Посадка с гарантированным зазором используется в тех случаях, когда допускается относительное смещение деталей; посадки с гарантированным натягом- когда необходимо передавать усилие или вращающий момент без дополнительного крепления только за счет упругих деформаций, возникающих при сборке сопрягаемых деталей.

Переходные посадки имеют небольшие предельные зазоры и натяги и поэтому их применяют в тех случаях, когда необходимо обеспечить центрирование деталей, т. е. совпадение осей отверстия и вала; при этом требуется дополнительное закрепление соединяемых деталей.

Посадки всех трех групп - с зазорами, с натягами, переходные с различными величинами наибольших и наименьших зазоров и натягов - можно получить при одном и том же номинальном размере, изменяя положение полей допусков обеих сопрягаемых деталей - отверстия и вала. Но, очевидно, таких сочетаний может оказаться бесчисленное множество, что привело бы к невозможности централизованного изготовления мерного режущего инструмента (сверл, зенкеров, разверток), формирующего размер отверстия.

Гораздо удобнее в технологическом (при изготовлении) и эксплуатационном (при ремонте) отношениях получать разнообразные посадки, изменяя положение поля допуска только одной детали при неизменном положении поля допуска другой.

Например, разные посадки, рассмотренные в примерах 1, 2, 3, образованы изменением только полей допуска валов при постоянном поле допуска отверстий. Такой способ образования различных посадок называется системой отверстия. Деталь, у которой положение поля допуска является базовым и не зависит от требуемого характера соединения, называют основной деталью системы (в рассмотренном случае - отверстие). Аналогичные посадки могут быть получены по-иному, если за основную деталь принять вал, а для образования различных посадок изменять поля допусков отверстий. Такой способ образования называется системой вала.

Таким образом, посадки в системе отверстия - это посадки, в которых различные зазоры и натяги получаются соединением различных валов с основным отверстием посадки в системе вала - это -по садки, в которых различные зазоры и натяги получаются соединением различных отверстий с основным валом

В практике машиностроения предпочтение отдается системе отверстия, поскольку изготовить отверстие и измерить его значительно труднее и дороже, чем изготовить и измерить с той же точностью вал такого же размера.

(рисунок)

Так, валы различной точности (и высокой) можно обрабатывать и измерять универсальными инструментами - резцами, шлифовальными кругами, микрометрами и т.д. А для обработки и измерения точных отверстий потребуются специальные дорогостоящие инструменты (зенкеры, развертки, протяжки, калибры-пробки). Число комплектов таких инструментов, необходимых для обработки отверстий с одинаковым номинальным размером, зависит от разнообразия предельных отклонений, которые могут быть назначены конструктором. Допустим, требуется изготовить три комплекта деталей одинаковых номинальных размеров и одинаковой точности для образования посадок с зазором, натягом и переходной. Если принять систему отверстия, то предельные размеры отверстий для всех посадок будут одинаковы и для обработки и измерения отверстий потребуется только один комплект специальных инструментов.

Чтобы сделать еще более удобным назначение посадок для конструктора и обработку деталей для рабочего, условились, что поля допусков основных деталей систем посадок должны удовлетворять одному обязательному условию: один из предельных размеров основной детали должен совпадать с номинальным размером. Причем для основного отверстия таким предельным размером должен быть наименьший (или, что то же самое, нижнее предельное отклонение основного отверстия должно быть равно нулю, а основного вала – наибольший (или, что то же самое, верхнее предельное отклонение основного вала должно быть равно нулю).

Допуск основной детали системы посадок всегда направлен «в тело» этой детали: в случае основного отверстия – на увеличение предельного размера по сравнению с номинальным; в случае основного вала – на уменьшение предельного размера по сравнению с номинальным.

Контрольные вопросы:

1.Что такое посадка?

2.Чем характеризуется посадка?

3.Что такое зазор и каковы условия его образования?

4. Что такое натяг и каковы условия его образования?

5.Как образуются посадки в системе отверстия?

6. Как образуются посадки в системе вала?

7.Как по взаимному расположению полей допусков отверстия и вала при графическом изображении посадки определить характер соединения?

Множество действительных чисел. Модуль действительного числа и его свойства.

Определение 1. Множеством действительных чисел называется совокупность всех рациональных и иррациональных чисел: .

Определение 2. Действительным числом называется любая бесконечная периодическая или непериодическая дробь.

Действительные числа изображаются точками на числовой прямой и заполняют всю прямую без "дыр". Множество непрерывно.

Свойство непрерывности R. Пусть – произвольные множества из и и выполняется . Тогда и выполняется .

1. Модуль действительного числа и его свойства

Определение. Модулем действительного числа а называется неотрицательное число, обозначаемое |а |, определяемое формулой:

Геометрический смысл модуля : | | –расстояние от точки 0 до точки а на числовой оси.

Из определения модуля вытекают его свойства.

Cвойства модуля:

2 . -|а| а |а|.

3 . b 0 неравенство |х| b равносильно -b х b (при b<0 неравенство |х| bне верно ни при каком х).

4 . b 0 |х|³bÛ (если b<0, то неравенство верно для любого х).

5 . (Неравенство треугольника) |а+b| |а|+|b|

6 . |а-b| |а|+|b|

7 . |а-b|³|а|-|b|

8 .|а+b|³|а|-|b|

9 .

10 .

.

12 . 1)

2)

2. Числовое множество. Примеры числовых множеств. Окрестности. Ограниченные и неограниченные числовые множества. Верхняя и нижняя грани числового множества. Достаточное условие существования верхней (нижней) грани множества.

Определение.

Числовое множество – множество, элементами которого являются действительные числа.

Примеры числовых множеств.

1) Отрезок (сегмент, замкнутый промежуток) .

2) Интервал (открытый промежуток) .

3) Полуинтервалы

1)-3) называются промежутками и обозначаются .

4) Бесконечные промежутки:

, ,

,

вся числовая прямая.

4. Окрестность точки

Пусть .

Определение 1. Окрестностью точки а называется произвольный интервал, содержащий точку а . Обозначается V(a ).

Определение 2. - окрестностью точкиа называется интервал с центром в точке а ирадиусом . Обозначается V(a ;e ).

V(a ;e )=(a-e;a+e ) или V(a ;e )= , V(a ;e )= .

У каждой точки существует бесконечно много - окрестностей.

Определение 3. Проколотой - окрестностью точки а называется

- окрестность без точки а . Обозначается

.

= .

Определение 4.

– -окрестность точки + ,

– -окрестность точки - ,

- -окрестность точки .

Определение 5. Односторонние окрестности точки а:

–левая проколотая - окрестностьточкиа ,

– праваяпроколотая - окрестностьточки а.

В дальнейшем будем рассматривать только - окрестности. Будем называть их просто окрестностями.

Ограниченные и неограниченные множества. Верхние и нижние грани числовых множеств

ПустьЕ – произвольное числовое множество, .

Определение 1. Число называется наименьшим (наибольшим) элементом множестваЕ , если выполняется . Если Е имеет наибольший (наименьший) элемент, то он принадлежит множеству .

Определение 2. МножествоЕ называется ограниченным сверху, если выполнено .

Определение 3. Число b называется верхней границей множества Е , если .

Очевидно, что если b – верхняя граница множестваЕ , то любое число, большее b , также будет верхней границей множества Е. Таким образом, ограниченное сверху множество имеет множество верхних границ.

Пример 1. ограничено сверху. Одна из верхних границ – число 3. И любое число большее, чем 3 является верхней границей. Например, выполнено .

Определение 4. МножествоЕ называется ограниченным снизу, если выполнено .

Определение 4.1. Число а называется нижней границей множества Е, если .

Определение 5. МножествоЕнеограниченно сверху, если .

Определение 6. Множество Енеограниченно снизу, если : .

Определение 7. МножествоЕ называется ограниченным, если оно ограничено и сверху, и снизу, то есть выполнено .

Определение 7 . МножествоЕ называется ограниченным, если выполнено .

Замечание. Определения 7 и 7 эквивалентны (равны).

8. Множество называется неограниченным, если : .

Определение 9. Верхней гранью множестваЕ (или точной верхней границей множества Е ) называется наименьшая из всех верхних границ множества Е. Обозначается (супремум) или .

Определение 9 . 1) выполнено ,

Условие 2) можно заменить: .

Определение 10. Нижней гранью множества Е (или точной нижней границей множества Е ) называется наибольшая из всех нижних границ множества Е.

Обозначается m =infE (инфимум) или .

infE может как принадлежать так и не принадлежатьмножеству E .

Определение 10 . 1) выполнено ,

Условие 2) можно заменить: .

Условие 1) означает, что число m является нижней границей.

Условие 2) означает, что число m является наибольшей из нижних границ (то есть её нельзя увеличить).

Теорема. Всякое ограниченное сверху непустое множество имеет верхнюю грань. Всякое ограниченное снизу непустое множество имеет нижнюю грань.

Определение 11. Если множествоЕ не ограничено сверху, то . Если множество Е не ограничено снизу, то

3. Понятие числовой последовательности. Ограниченные и неограниченные последовательности. Возрастающие, убывающие, невозрастающие, неубывающие последовательности.

Определение 1. Если каждому натуральному числу n по некоторому правилу поставить в соответствие некоторое число x n , то говорят, что определена числовая последовательность Её обозначают: или .

Определение 2. ограниченнойсверху(снизу) , если выполняется .

Определение 3. Последовательность называется неограниченной сверху (снизу) , если >k (

Определение 4. Последовательность называется ограниченной , если выполнено .

Определение 5. Последовательность называется неограниченной , если : .

Определение 6. Последовательность называется возрастающей (убывающей) , если выполнено ().

Определение 7. Последовательность называется невозрастающей (неубывающей) , если выполнено ().

Определение 8. Возрастающие и убывающие последовательности называются монотонными последовательностями.

4. Предел числовой последовательности, его геометрический смысл. Стационарная последовательность и ее предел. Единственность предела последовательности.

Пусть дана последовательность : (1)

Определение 1. Числоа называется пределом последовательности , если выполнено . (2)

Обозначается: или или .

Если последовательность имеет предел а , то она называется сходящейся ка .

Если последовательность не имеет предела, то она называется расходящейся .

Определение 2. Последовательность называется сходящейся, если выполнено .

Геометрический смысл предела последовательности

Числоа является пределом последовательности , если в любой e – окрестности точки а находятся все члены последовательности, начиная с некоторого (не принадлежит этой окрестности лишь конечное число членов).

Стационарная последовательность - пос-ть, у которой все ее члены равны одному и тому же числу. ЕЕ предел равен этому числу.

Теорема 1. Любая сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Доказательство.

(От противного)Пусть последовательность , которая имеет 2 предела: Тогда по определению предела

, .

Обозначим . Тогда выполнено и . Тогда .

Получили, что положительное фиксированное число меньше любого положительного числа (его можно брать сколь угодно малым), следовательноb-а =0 и значит, а=b .

5.Необходимое условие сходимости последовательности. Теорема о связях между последовательностями и их пределами (предельный переход в неравенствах, теорема о пределе промежуточной последовательности).

Теорема 2. (Необходимое условие сходимости) Всякая сходящаяся последовательность ограничена.

выполнено .

Доказательство.

Пусть сходящаяся последовательность, то есть выполнено .

.

Значит, выполнено .

Обозначим М = . Тогда "n выполнено , то есть (по определению) последовательность ограничена.

Теорема 4. (предельный переход в неравенствах) Если , и "n>N выполняется , то .

Отметим , что из строгого неравенства не следует строгое, а следует нестрогое : .

Теорема 5. (О пределе промежуточной последовательности)

Пусть , , – последовательности, удовлетворяющие условию

"n>N 0 . (1)

Если , то .

6. Понятие бесконечно малой последовательности, геометрический смысл. Свойства бесконечно малой последовательности.

Определение 1. Последовательность называется бесконечно малой (БМП), если .

Это означает, что выполнено .

Геометрический смысл . Геометрически это означает, что в любой (сколь угодно малой) окрестности нуля находятся все члены последовательности , начиная с некоторого номера .

Теорема 1. Сумма любого конечного числа БМП есть БМП.

Теорема 2. Произведение БМП на ограниченную последовательность есть БМП.

Из теоремы 1 и 2 вытекают следствия.

Следствие 1. Если БМП, , то – БМП.

Следствие 2. Разность двух БМП есть БМП.

Следствие 3. Произведение двух БМП есть БМП.

Следствие 4. Произведение БМП и сходящейся последовательности есть БМП.

Замечание 1. Случай произведения 2-х БМП последовательностей можно обобщить для любого конечного числа БМП.

Замечание 2. Для частного двух БМП аналогичное утверждение не верно, то есть если , – БМП, то может и не быть БМП.

Необходимое и достаточное условие сходимости последовательности (через бесконечно малую последовательность).

Теорема 3. (Необходимое и достаточное условие сходимости последовательности) , где – БМП, то есть .

Доказательство.

1) Необходимость.

Пусть . Рассмотрим последовательность .

По определению предела выполнено .

Следовательно, для последовательности имеем: выполнено . Значит, - БМП Þ , где - БМП.

2) Достаточность.

Пусть , где .

По определению предела выполнено . Так как

, то "n>N Þ .

8. Понятие бесконечно большой последовательности. Связь между бесконечно малой и бесконечно большой последовательностями.

Определение 1. Последовательность называется бесконечно большой , если выполняется .

Для обозначения ББП используется запись .

Теорема 1 . 1) Если – ББП, причем то – БМП;

2) если – БМП и то – ББП.

9.Теоремы о пределе суммы, разности, произведения и частного сходящихся последовательностей. . Неопределенности вида , , , . Примеры.

1. Частное . 1) , .

2) , .

3) , .

4) , (аналогично).

Отношение двух БМП . Это отношение может иметь предел (конечный или бесконечный), а может и не иметь предела в зависимости от конкретного способа задания последовательностей и . Поэтому отношение двух БМП называется неопределенностью вида .

Если предел отношения найден или доказано, что он не существует, то говорят, что неопределенность раскрыта .

– отношение двух ББП – неопределенность вида .

2. Сумма .

1) , ,

2) , ,

3) , – неопределенность вида .

3. Произведение .

1) , ,

2) , ,

3) , – неопределенность вида .

1.

2. , где a >0.

3. .

10. Понятие невозрастающей и неубывающей последовательности. Верхняя и нижняя грани последовательности. Теорема о пределе монотонной последовательности.

Определение 1. Верхней гранью последовательности называется верхняя грань множества значений элементов этой последовательности.

Обозначается.

Если множество значений элементов последовательности ограничено сверху, то есть число: Если множество значений неограниченно сверху, то .

Определение 2. Нижней гранью последовательности называется нижняя грань множества значений этой последовательности.

Обозначается infx n .

Если множество значений элементов последовательности ограничено снизу, то . Если множество значений не ограничено снизу, то

Теорема 1. 1) Любая неубывающая, ограниченная сверху последовательность имеет конечный предел.

2) Любая невозрастающая, ограниченная снизу последовательность имеет конечный предел.

Доказательство.

1) - ограниченная сверху .

Докажем, что .

Выберем . Тогда по определению 1" для этого e выполняется два условия:

Так как - неубывающая, то .

Следовательно, выполнены условия 1) и 2), значит, выполнено . Т. е. Þ .

Итак, : выполняется .

Заметим, что из условия 1) следует, что .

2) Доказывается аналогично.

Устанавливается, что и, следовательно, .

11 .Определение предела функции по Гейне и по Коши, их эквивалентность. Геометрический смысл предела функции.

Определение 1(по Гейне). ЧислоА называется пределом функции f(x) в точке а (или при х ®а) , если для любой последовательности (х n ) точек из , сходящейся к а , соответствующая последовательность значений функции (f (x n )) сходится к числу А .

Обозначается или .

Таким образом, , выполнено (f (x n )) A . Второе определение предела функции (по Коши). 2. ЧислоА называется пределом функции f в точке а , если >0 >0: : 0< < выполнено .

Это определение называют определением предела “на языке ”.

Так как неравенство 0< < означает, что , а неравенство - что , то получаем определение “на языке окрестностей”.

Теорема. Определения предела по Гейне и по Коши эквивалентны.

Итак, геометрический смысл предела функции состоит в следующем. ЧислоА является пределом функции f в точке а , если для любой, сколь угодно малой, e - окрестности точки А найдется d - окрестность точки а , такая что для всех х соответствующие значения функции .

12. Односторонние пределы функции в точке. Необходимое и достаточное условие существования предела функции в точке (через односторонние пределы).

Односторонние пределы

Рассмотрим понятие предела функции при стремлении к точке справа или слева. При этом заменяется на или на .

Обозначим через левую окрестность точки а , – правую окрестность точки а .

Определение 1. (по Гейне) Число A называется левым (правым ) пределомфункцииf (x ) в точкеa , если , соответствующая последовательность значений функции (f (x n )) сходится к A .Определение 2. (по Коши) ЧислоА называется левым (правым ) пределом функции f (x ) в точкеа , если : : a-d (a)выполняется неравенство .

Обозначается – левый предел, – правый предел.

Определение 1 и определение 2 эквивалентны.Правый и левый предел функции в точке называются односторонними пределами в точке .

Теорема. Для того, чтобы функция f имела предел в точке a необходимо и достаточно, чтобы в этой точке существовали равные между собой односторонние пределы. При этом общее значение односторонних пределов равно пределу функции в точке а :

Доказательство.

1) Необходимость.

И . Это следует из определения предела и определения односторонних пределов.

2)Достаточность.

Пусть существуют односторонние пределы, равные А . Возьмем . Тогда согласно определению 2

: : выполняется ,

: : выполняется .

Выберем : : выполняется .

выполняется определение предела в точке а.

13.Теорема о единственности предела функции. Теорема об ограниченности функции, имеющей предел в точке.

Теорема 1. (Единственность предела). Любая функция в точке может иметь только один предел.

Доказательство.

Пусть , и .

Возьмем (x n ): x n a . Рассмотрим (f (x n )). По определению предела функции по Гейне и . Но по теореме о единственности предела последовательности отсюда следует, чтоА=В .

Полученное противоречие доказывает теорему.

Теорема 2. Если , то ограничена в некоторой проколотой окрестности точки а .

14. Теоремы о предельном переходе в неравенствах. Теоремы о пределе суммы, разности, произведения и частного функции.

Теорема 4. Пусть 1) ;

2) .

Тогда .

Теорема 5. Пусть , иА <B (A >B ).

Тогда : : выполняется ().

Теорема 6. Если и А <B (A >B ), то : : выполняется ().

Теорема 7. (Предельный переход в неравенствах)

Пусть , и : : выполняется ). Тогда .

Теоремы, связанные с арифметическими операциями над пределами

Теорема 8. Пусть и определены в некоторой проколотой окрестности точки а и , . Тогда в точкеа существуют пределы суммы, разности, произведения и частного (при условии, что и в ), причем

,

,

при и в .

Доказательство.

Докажем для суммы, остальное – аналогично.

Возьмём : . Так как и , то по определению предела функции по Гейне , . По теореме о пределе суммы последовательностей последовательность также имеет предел, причем .

Получили, что : последовательность сходится к числу А+В () .

15. Виды неопределенностей. Примеры. Теорема о пределе сложной функции.

Бесконечные пределы и неопределенности

(дополнения к теореме 8 §6)

1. ,

2. ,

3. ,

4. ,

Теорема 8 (достаточное условие интегрируемости). Если функция ¦(x) непрерывна в промежутке , то она интегрируема на этом промежутке, т.е. существует интеграл . Определение 6. Пусть функция ¦(x) определена в промежутке . Разобьем этот промежуток на произвольных частей точками . В каждом из полученных частных промежутков , где , выберем произвольную точку . Вычислим значение функции и умножим его на разность . После этого составим сумму Римана , (1) (иногда её называют интегральной суммой) Определение. Функция , для которой на отрезке существует определенный интеграл, называется интегрируемой на этом отрезке.Естественно возникает вопрос: при каких условиях функция , определенная на , интегрируема на этом отрезке? Не приводя доказательств, рассмотрим эти условия.

Теорема 1. Если функция непрерывна на отрезке , то она интегрируема на этом отрезке.

Сформулируем и более общую теорему об интегрируемости.Теорема 2. Если функция ограничена на и непрерывна на нем всюду, кроме конечного числа точек, то она интегрируема на этом отрезке.

16)Свойства определенного интеграла

I. Величина определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования, т.е. , где х, t – любые буквы.

II. Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю.

III. При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет свой знак на обратный.

IV. Если промежуток интегрирования разбит на конечное число частичных промежутков, то определенный интеграл, взятый по промежутке , равен сумме определенных интегралов, взятых по всем его частичным промежуткам.

V. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла.

VI. Определенной интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен такой же алгебраической сумме определенных интегралов от этих функций.

17. Основная теорема анализа (теорема Барроу).

Пусть и непрерывна в . Тогда дифференцируема в этой точке и её производная равна .

Доказательство:

Приращение при в силу непрерывности в точке выполняется Рассмотрим . По первому утверждению получаем Устремляя , получаем

18. Формула Ньютона – Лейбница.

Теорема 10(формула Ньютона – Лейбница). Если – какая-либо первообразная функции ¦(x), то справедлива формула .

Доказательство.

Раз - тоже первообразная для ¦(x ), то выберем за первообразную . Это равенство является справедливым для любого . Выберем . Тогда . Теперь . . Значит .

Правило. Значение определенного интеграла от непрерывной функции равно разности значений любой первообразной для нее при верхнем и нижнем пределах интегрирования.

Пример 19. Найти интегралы , , .

Решение. ; ;

19. Метод Остроградского.

Иногда при интегрировании правильной рациональной дроби используют метод, суть которого состоит в выделении рациональной части первообразной.

Пусть имеет кратные корни (включая и комплексные). Составим многочлен так, чтобы все его корни его были простые, и каждый корень являлся бы корнем многочлена . Тогда , где корни есть корни многочлена с кратностями на единицу меньше. В частности, все простые корни будут корнями и не будут корнями .

Справедливо соотношение (1) , где и - многочлены с неопределенными коэффициентами, степени которых соответственно на единицу меньше степеней многочленов и . Неопределенные коэффициенты многочленов и вычисляются при помощи дифференцирования равенства (1) . Обычно метод Остроградского применяется, если многочлен имеет несколько корней большой кратности.

Пример 18. Вычислить .

Решение. Полагаем . Дифференцируя это равенство, получаем

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях в обеих частях равенства (2).

Следовательно, .

20. Интегрирование функций вида , где рациональная функция.

Выделяя из рациональной дроби целую часть – многочлен , т.е. и представляя дробь в виде сумму простейших дробей, видим, что интегрирование функции приводится к вычислению интегралов следующих типов:а). , -многочлен. б). , –константа. в). , - константы и трехчлен не имеет действительных корней

21. Интеграл вида подстановкой приводится к виду, рассмотренному в предыдущем пункте. Дифференцируя это тождество, имеем

Откуда . Для нахождения неопределенных коэффициентов и запишем систему уравнений, приравняв коэффициенты при соответствующих степенях

Откуда . Следовательно,

Рассмотрим вычисление интеграла. Предположим сначала, что , тогда . Поскольку , то . Первый из полученных интегралов является табличным. Для вычисления интеграла применяется подстановка Абеля . В общем случае, в интеграле делают замену переменного так, чтобы во вновь полученных трехчленах одновременно исчезли слагаемые с первой степенью. Это достигается, например, с помощью дробно-линейной подстановки , если и , если . В результате получим интеграл . Представим его в виде . К первому из этих интегралов применяем подстановку , а ко второму – подстановку .

23. Несобственные интегралы.

Определённый интеграл называется несобственным , если выполняется, по крайней мере, одно из следующих условий.

Если интервал конечный, и функция интегрируема по Риману, то значение несобственного интеграла совпадает с значением определённого интеграла.