정다면체 표현 주제에 대해 게시합니다. 공간의 대칭

미하일로바 폴리나 코게이 줄리아

겨냥하다

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시사:

프로젝트

(수학 기사)

완전한:

11학년 학생

미하일로바 폴리나

율리아 코가이

감독자:

수학 선생님

레베데바 이리나 니콜라예브나

르제프 2012

(L. 캐롤)

소개

겨냥하다 우리 연구는정다면체, 그 유형, 특성에 대한 연구.

1. 정다면체

그림 1.

2. 다면체의 속성

말 그대로 번역

유클리드

플라톤과 플라톤 입체

다면체

흙/물 = 공기/불.

다면체	면의 수		면의 수	모서리 수	정점 수
사면체
입방체
팔면체
정이십면체
십이 면체

시라쿠사의 아르키메데스

준정확

마름모팔면체그리고 마름2십이면체

결론

시사:

MOU 중등 학교 No. 1, Rzhev, Tver 지역

프로젝트

우리 주변의 정다면체

(수학 기사)

완전한:

11학년 학생

미하일로바 폴리나

율리아 코가이

감독자:

수학 선생님

레베데바 이리나 니콜라예브나

르제프 2012

정다면체는 거의 없으며,

그러나 이 매우 적은 수의 분리

다양한 과학의 깊이에 들어갈 수 있었습니다.

(L. 캐롤)

소개

학교 기하학에서 당신이 기대하는 특별한 주제가 있습니다.

믿을 수 없을만큼 아름다운 재료와의 만남을 기대합니다. 이러한 주제에는 "정다면체"가 포함됩니다. 열릴 뿐만 아니라

기하체의 놀라운 세계뿐만 아니라 과학자와 철학자 사이에 논쟁을 일으키는 독특한 특성도 있습니다.

평생 동안 사람은 다면체와 밀접하게 연결되어 있습니다. "사면체", "팔면체", "12면체" 등과 같은 복잡한 용어에 대한 지식이 부족함에도 불구하고 그는 어린 시절부터 이러한 독특한 도형에 관심을 가져왔습니다. 결국 가장 인기있는 어린이 게임 중 하나 인 "큐브"의 본질은 다면체에서 물건을 만드는 것입니다.

수세기 동안 사람들은 이 몸에 끌리는 것 같았습니다. 고대 이집트인들은 사면체의 형태로 파라오(그들이 반신으로 여겼던)를 위한 무덤을 지었는데, 이것은 다시 한번 이 인물들의 위대함을 강조합니다.

그러나 이 신비한 몸은 인간의 손으로만 만들어진 것이 아닙니다. 정규체 중 일부는 자연에서 결정 형태로, 다른 일부는 바이러스 형태로 발견됩니다(전자 현미경을 사용하여 과학자들이 발견함). 그리고 생물학자들은 벌꿀이 들어있는 육각형 벌집이 정다면체 모양을 하고 있다고 합니다. 이 귀중한 제품의 유익한 특성을 보존하는 데 도움이 되는 것이 벌집의 올바른 육각형 모양이라는 가설이 있었습니다.

그렇다면 이 완벽한 몸은 무엇일까요?

겨냥하다 우리 연구는정다면체, 그 유형, 특성에 대한 연구.

우리 연구의 목적은 다음과 같습니다.

• 정다면체의 개념을 제시하십시오(다면체의 정의에 기초하여).
• 5가지 유형의 정다면체만이 존재함을 증명하십시오.
• 정다면체의 특성을 고려하십시오.
• 정다면체와 관련된 흥미로운 역사적 사실에 대해 알아보세요.
• 다면체 연구의 역사에 대해 알고 있습니다.
• 정육면체를 사용하여 다른 유형의 정다면체를 만드는 방법을 보여줍니다.
• 정다면체와 자연의 연결을 고려하십시오.

1. 정다면체

다면체는 다면체의 각 변이 정확히 하나의 다각형의 변이 되도록 연결된 유한한 수의 평면 다각형 모음으로 둘러싸인 공간 조각입니다. 다각형을 면이라고 하고, 그 변을 모서리라고 하며, 꼭짓점을 꼭짓점이라고 합니다.

모든 면이 정다각형이고 꼭짓점에서 모든 다면체 각이 같은 정다면체를 호출합니다.

더도 말고 덜도 말고 총 5개의 다면체가 있습니다. 이것은 볼록 다면체 각도를 펼치면 확인할 수 있습니다. 실제로, 정의에 따라 정다면체를 얻으려면 동일한 수의 면이 각 꼭짓점에서 수렴해야 하며, 각 꼭짓점은 정다각형입니다. 다면체 각의 평면 각도의 합은 360보다 작아야 합니다.~에 대한 , 그렇지 않으면 다면체 표면을 얻을 수 없습니다.

부등식의 가능한 정수 솔루션을 통해 진행: 60k

그림 1.

2. 다면체의 속성

사면체는 4개의 정삼각형으로 구성됩니다. 각 꼭짓점은 세 개의 삼각형으로 이루어진 꼭짓점이며, 각 꼭짓점에는 세 개의 모서리와 세 개의 면이 있습니다. 따라서 각 꼭짓점에서 평면 각도의 합은 180º입니다. 사면체는 4개의 면, 4개의 꼭짓점, 6개의 모서리를 가지고 있습니다.

팔면체는 8개의 정삼각형으로 구성됩니다. 팔면체의 각 꼭짓점은 4개의 삼각형으로 이루어진 꼭짓점이며, 각 꼭짓점에는 4개의 모서리와 4개의 면이 있습니다. 따라서 각 꼭짓점에서 평면 각도의 합은 240º입니다. 팔면체는 8개의 면, 6개의 꼭짓점, 12개의 모서리를 가지고 있습니다.

큐브 - 6개의 사각형으로 구성됩니다. 정육면체의 각 꼭짓점은 세 개의 정사각형으로 이루어진 꼭짓점이며, 각 꼭짓점에는 세 개의 모서리와 세 개의 면이 있습니다. 따라서 각 꼭짓점에서 평면 각도의 합은 270º입니다. 6개의 면, 8개의 꼭짓점, 12개의 모서리가 있습니다.

십이면체 - 12개의 정오각형으로 구성됩니다. 정십이면체의 각 꼭짓점은 세 개의 정오각형의 꼭짓점이며, 각 꼭짓점에는 세 개의 모서리와 세 개의 면이 있습니다. 따라서 각 꼭짓점에서 평면각의 합은 324º가 되며 12면체는 12개의 면, 20개의 꼭짓점, 30개의 모서리를 갖습니다.

3. 다면체 연구의 역사.

다면체의 이름은 고대 그리스에서 유래했으며 얼굴의 수를 나타냅니다. "헤드라"- 가장자리; "테트라"- 4; "헥사"- 6; "옥타"- 8; "이코사"- 20; "도데카" - 12. 말 그대로 번역

그리스어 "사면체", "팔면체", "육면체", "12면체", "이십면체"

의미: "사면체", "팔면체", "육면체".

십이면체, 십이면체. 유클리드의 원소 13권은 이 아름다운 몸에 헌정합니다.

그건 그렇고, 우리는 유클리드에 대해 이야기하고 있기 때문에 그를 더 잘 알아 봅시다. 그와 함께, 그리고 다면체를 연구한 다른 과학자들과 함께.

유클리드 (c. 300 BC) - 고대 그리스 수학자.

유클리드의 주요 작업은 요소라고 합니다. Elements는 13권의 책으로 구성되어 있습니다. 13권은 5개의 정다면체 구성에 관한 것입니다. 건물 중 일부는 아테네의 아이에테토스에 의해 개발된 것으로 믿어집니다. 우리에게 내려온 필사본에는 이 열세 권에 두 권이 더 추가되었습니다. 유클리드의 일부 "플라톤주의"는 플라톤의 티마이오스에서 네 가지 정다면체(사면체 - 불, 팔면체 - 공기, 20면체 - 물, 입방체 - 흙)에 해당하는 네 가지 요소의 교리가 고려된다는 사실과 관련이 있습니다. , 십이면체, "우주의 형상의 운명에 이르렀다. "기초"는 필요한 모든 전제와 묶음과 함께 배치된 소위 "플라톤 다면체"라고 불리는 5개의 정다면체 구성의 교리로 간주될 수 있으며, 다른 정다면체는 없다는 사실을 증명합니다. 이 다섯 가지 외에.

플라톤과 플라톤 입체

플라톤 (플라톤) (427-d. 347 BC 출생) - 그리스 철학자. 아테네에서 태어났다. 플라톤의 본명은 아리스토클레스.

다면체 플라톤의 다면체라고 불리는 이유는 그들은 점령했다우주의 구조에 대한 플라톤의 철학적 개념에서 중요한 위치. 네 개의 다면체는 네 개의 본질 또는 "요소"를 의인화합니다. 사면체는 불을 상징했기 때문입니다. 상단이 위쪽으로 향합니다. 20면체 - 물, 왜냐하면 그는 가장 "능률적"입니다. 큐브 - 지구, 가장 "안정적"으로; 팔면체 - 공기, 가장 "바람이 잘 통하는". 다섯 번째 다면체인 12면체는 "존재하는 모든 것"을 구현한 것으로 전체 우주를 상징하며 주된 것으로 간주되었습니다.

고대 그리스인은 조화로운 관계를 우주의 기초로 간주했기 때문에 네 가지 요소가 다음과 같은 비율로 연결되었습니다.흙/물 = 공기/불.

"요소"의 원자는 리라의 네 줄처럼 완벽한 자음으로 플라톤에 의해 조정되었습니다. 즐거운 협화음을 자음이라고 상기시켜 드리겠습니다. 플라톤 입체의 독특한 음악적 관계는 순전히 추측에 불과하며 기하학적 기반이 없다고 말해야 합니다. 플라톤 다면체의 꼭짓점 수, 정다면체의 체적, 모서리 또는 면의 수는 이러한 관계로 연결되지 않습니다.

이러한 신체와 관련하여 흙, 물, 공기 및 불의 네 가지 요소를 포함하는 최초의 요소 체계가 아리스토텔레스에 의해 정식화되었다고 말하는 것이 적절할 것입니다. 이 요소들은 수세기 동안 우주의 네 가지 초석으로 남아 있었습니다. 고체, 액체, 기체 및 플라즈마와 같은 우리에게 알려진 물질의 네 가지 상태로 그것들을 식별하는 것이 가능합니다.

플라톤 입체의 특성

다면체	면의 수	각 꼭짓점에서 수렴하는 면의 수	면의 수	모서리 수	정점 수
사면체
입방체
팔면체
정이십면체
십이 면체

시라쿠사의 아르키메데스

아르키메데스는 정다면체의 개념을 일반화하고 새로운 수학적 대상인 반정다면체를 발견했습니다. 그래서 그는 모든 면이 한 종류 이상의 정다각형이고 모든 다면체 각이 합동인 다면체라고 불렀습니다. 우리 시대에만 아르키메데스가 발견한 13개의 반정다면체가 이러한 기하학적 도형 전체를 소진한다는 것을 증명할 수 있었습니다.

아르키메데스 다면체 세트는 여러 그룹으로 나눌 수 있습니다.

그 중 첫 번째는 5개의 다면체로, 이들은 잘림의 결과로 플라톤 다면체에서 얻어집니다. 따라서 5개의 아르키메데스 다면체를 얻을 수 있습니다: 잘린 사면체, 잘린 육면체(큐브), 잘린 팔면체, 잘린 십이면체 및 잘린 이십면체.

다른 그룹은 두 개의 본체로 구성되어 있습니다.준정확다면체. 이 두 본체의 이름은 다음과 같습니다.정육면체와 정이십이면체.

다음 두 개의 다면체는마름모팔면체그리고 마름2십이면체. 때로는 큰 마름모팔면체와 큰 마름2십이면체와 대조적으로 "작은 마름모팔면체" 및 "작은 마름2십이면체"라고도 합니다.

마지막으로 두 가지 소위 "딱딱한" 수정이 있습니다. 하나는 정육면체용이고 다른 하나는 12면체용입니다. 그들 각각은 면의 약간 회전된 위치가 특징이므로 동일한 "코가 있는" 다면체의 두 가지 다른 버전을 구성할 수 있습니다.
상대방의 거울상).

다면체 이론에 대한 케플러의 기여는 첫째, 반정기적 볼록 균질 다면체에 대한 아르키메데스의 잃어버린 논문의 수학적 내용을 복원한 것입니다. 훨씬 더 중요한 것은 오각형과 유사한 별 모양의 면을 가진 볼록하지 않은 다면체를 고려하자는 케플러의 제안과 볼록하지 않은 두 개의 균일한 다면체인 작은 별 모양의 십이면체와 큰 별 모양의 십이면체의 발견이었습니다.

아주 독창적인 케플러의 우주론적 가설은 태양계의 일부 속성을 정다면체의 속성과 연결하려고 시도한 것입니다. Kepler는 당시 알려진 6개의 행성 사이의 거리는 5개의 볼록 다면체(플라톤 다면체)의 크기로 표현된다고 제안했습니다. 이 가설에 따르면 행성이 회전하는 각 쌍의 "천구" 사이에 케플러는 플라톤 입체 중 하나를 새겼습니다. 팔면체는 태양에 가장 가까운 행성인 수성의 구 주위에 설명되어 있습니다. 이 팔면체는 금성의 구에 새겨져 있으며, 그 주위에 정이십면체가 설명되어 있습니다. 20면체 주위는 지구의 구이고 이 구 주위는 12면체입니다. 12면체는 화성의 구에 새겨져 있으며, 그 주위에 4면체가 설명되어 있습니다. 정사면체 주위에는 입방체에 새겨진 목성의 구가 묘사되어 있습니다. 마지막으로 큐브 주위에 토성의 구체가 설명되어 있습니다. 이 모델은 당시로서는 꽤 그럴듯해 보였습니다. 첫째, 이 모델을 사용하여 계산된 거리는 실제 거리에 매우 가깝습니다(당시 사용 가능한 측정 정확도를 고려함). 두 번째로, 케플러의 모델은 왜 6개의 행성(당시 알려진 수)만 있는지 설명했습니다. 5개의 플라톤 다면체와 조화를 이루는 것은 6개의 행성이었습니다. 그러나 그 당시에도 이 매력적인 모델에는 한 가지 중요한 단점이 있었습니다. Kepler 자신은 행성이 태양 주위를 원("구")이 아니라 타원(케플러의 첫 번째 법칙)으로 회전한다는 것을 보여주었습니다. 말할 필요도 없이, 나중에 3개의 행성이 더 발견되고 더 정확한 거리 측정이 이루어지면서 이 가설은 완전히 기각되었습니다.

1. 지구의 20면체-12면체 구조.

지구의 구조와 과정을 정다면체와 비교한 자료는 많다.

지구의 4가지 지질학적 시대는 일반 플라톤 다면체의 4가지 파워 프레임에 해당한다고 믿어집니다. 원생대 - 사면체(4판) 고생대 - 육면체(6판) 중생대 - 팔면체(8판) 신생대 - 12면체(12판).

지구의 핵심은 행성에서 일어나는 모든 자연적 과정의 발달에 영향을 미치는 성장하는 결정의 모양과 특성을 가지고 있다는 가설이 있습니다. 이 수정의 "광선" 또는 오히려 그 힘장은 지구의 20면체-12면체 구조를 결정하며, 이는 지구에 새겨진 규칙적인 다면체의 투영이 지구의 지각에 나타난다는 사실에서 나타납니다: 20면체와 12면체 . 노드라고 하는 가장자리의 정점과 중간점에는 이해할 수 없는 많은 현상을 설명할 수 있는 여러 가지 특정 속성이 있다는 것이 밝혀졌습니다.

고대 세계의 가장 크고 가장 주목할만한 문화와 문명의 중심을 지구에 배치하면 지구의 적도와 지리적 극을 기준으로 위치의 패턴을 확인할 수 있습니다. 많은 광물 매장지가 20면체-12면체 격자를 따라 뻗어 있습니다.

이 갈비뼈의 교차점에서 훨씬 더 놀라운 일이 발생합니다. 페루, 북부 몽골, 아이티, Ob 문화 등 가장 고대 문화와 문명의 중심지가 있습니다. 이 지점에는 대기압의 최대값과 최소값, 세계 대양의 거대한 소용돌이, 여기 스코틀랜드 네스호, 버뮤다 삼각지대가 있습니다. 지구에 대한 추가 연구는 아마도 규칙적인 다면체가 중요한 위치를 차지하는이 아름다운 과학적 가설에 대한 태도를 결정할 것입니다.

소련 엔지니어 V. Makarov와 V. Morozov는 수십 년 동안 이 문제를 연구했습니다. 그들은 지구의 발달이 단계적으로 진행되었다는 결론에 도달했으며 현재 지구 표면에서 발생하는 과정으로 인해 20 면체 - 12 면체 패턴의 퇴적물이 나타납니다. 1929년, S.N. 그의 작품에서 Kislitsin은 12면체-이십면체의 구조를 석유 및 다이아몬드 매장량과 비교했습니다.

V. Makarov와 V. Morozov는 현재 지구의 생명 과정이 12면체-이십면체의 구조를 가지고 있다고 주장합니다. 행성의 20개 지역(12면체의 꼭짓점)은 생물학적 생명(식물상, 동물군, 사람)의 기초를 형성하는 나가는 물질의 벨트 중심입니다. 모든 자기 이상 현상의 중심과 행성의 자기장은 삼각형 시스템의 노드에 있습니다. 또한 저자의 연구에 따르면 현재의 가장 가까운 천체는 화성, 금성, 태양에서 볼 수 있는 십이면체-이십면체 체계에 따라 과정을 배열합니다. 유사한 에너지 프레임은 우주의 모든 요소(은하, 별 등)에 내재되어 있습니다. 유사한 것이 미세 구조에서 관찰됩니다. 예를 들어, 아데노바이러스의 구조는 20면체 모양입니다.

5. 정다면체와 자연.

정다면체는 가장 유리한 도형으로 자연계에 널리 분포되어 있습니다. 이것은 일부 결정의 모양으로 확인됩니다. 예를 들어, 소금 결정은 입방체 모양입니다. 알루미늄 생산에는 알루미늄 - 칼륨 석영이 사용되며 그 단결정은 정팔면체 모양입니다. 황산, 철, 특수 등급의 시멘트를 얻는 것은 황철광 없이는 완전하지 않습니다. 이 화학물질의 결정은 12면체 모양입니다. 과학자들이 합성한 물질인 황산안티몬나트륨은 다양한 화학 반응에 사용됩니다. 안티몬 황산나트륨의 결정은 사면체 모양을 가지고 있습니다. 마지막 정다면체 - 정이십면체는 붕소 결정의 모양을 전달합니다.

일반 다면체는 야생 동물에서도 발견됩니다. 예를 들어, feodaria(Circjgjnia icosahtdra)의 단세포 유기체의 골격은 20면체 모양입니다. 대부분의 feodarii는 깊은 바다에 살고 산호 물고기의 먹이 역할을 합니다. 그러나 가장 단순한 동물은 골격의 12개 꼭짓점에서 나오는 12개의 바늘로 자신을 보호합니다. 별 다면체처럼 보입니다. 면의 수가 같은 모든 다면체 중에서 정이십면체는 표면적이 가장 작고 부피가 가장 큽니다. 이 속성은 해양 유기체가 수주의 압력을 극복하는 데 도움이 됩니다.

20면체는 바이러스의 모양에 대한 논쟁에서 생물학자들의 관심의 중심에 있었습니다. 바이러스는 이전에 생각했던 것처럼 완벽하게 원형일 수 없습니다. 그 모양을 확립하기 위해 그들은 다양한 다면체를 가지고 바이러스에 원자의 흐름과 같은 각도로 빛을 비췄습니다. 단 하나의 다면체 만이 정확히 같은 그림자, 즉 20 면체를 제공한다는 것이 밝혀졌습니다.

결론

제시된 작업의 주요 목적은 정다면체, 그 유형 및 특성을 연구하는 것이 었습니다. 이 목표를 달성하기 위해 교육 및 대중 과학 문헌과 인터넷 리소스에 대한 비교 분석이 수행되었습니다.

연구 과정에서 우리는 정다면체 구조의 놀라운 특징, 그 유형과 특성, 구조적 특징을 연구했습니다. 우리는 흥미로운 역사적 가설과 사실을 알게 되었습니다. 우리는 수세기 동안 과학자들에 의해 연구되어 왔으며 결코 우리를 놀라게하지 않는 이러한 신체 형태의 아름다움, 완벽 및 조화를 보았습니다. 우리는 규칙적인 다면체가 겉보기에 구형인 행성의 구조에 존재한다는 것을 배웠고, 이는 우리 주변 세계에서 그 중요성을 다시 한 번 증명합니다. 그리고 많은 현대 과학자들은 자연의 물질이 이러한 독특한 형상으로 구성되어 있다는 가설에 경향이 있습니다.

요약하면, 우리는 달성된 연구의 목적을 고려할 수 있습니다. 앞으로 작품의 주제는 건축, 기술, 예술에서 정다면체의 특성, 대칭적 특징의 사용을 고려하는 것과 같이 발전될 수 있습니다.

서지

1. Atanasyan L.S., Butuzov V.F. 기하학 10-11 수업 - 2008. - 14번

2.포토스쿠예프 E.V., 즈바비치 L.I. 기하학 11학년 - 2008 - 4위

3. 파포프스키 VM 10-11학년의 기하학에 대한 심층 연구

4. Velenkin N.Ya. 수학 교과서의 페이지 뒤에: 산술. 대수학. 기하학 - 1996

5. 수학: 학교 백과사전 - 2003

6. Depman I.Ya. , Velenkin N. Ya. 수학 교과서의 페이지 뒤에 - 1989

7. 어린이를 위한 백과사전. Avanta+ 수학 - 2003

연방 교육청
주립 교육 기관
고등 전문 교육
"볼가 주립 사회 및 인도주의 아카데미"

초등 교육 학부

요약

다면체. 다면체 연구

초등학교에서.

완료: 학생

51TNF 그룹

페트루시나 O.V.

사마라 2009

소개 ...........................................................................................................................4

기본 개념 ...........................................................................................6

정다면체에 대한 역사적 정보 ...........................................9

오일러 공식 ...........................................................................................13

우리 주변의 정다면체...........................................................14

결론...........................................................................................................18

참고 자료 ...........................................................................................................20

소개

"다면체"라는 주제는 학교 기하학의 전통적인 과정에서 주요 주제 중 하나입니다. 그것들은 스테레오메트리의 중심 대상이라고 말할 수 있습니다. 평행 및 수직선과 평면, 2면체 각도 등의 연구와 벡터 및 좌표의 도입 - 이 모든 것은 입체 측정의 시작에 불과하며, 보다 의미 있는 대상(주로 신체)에 대한 연구를 위한 수단 준비 및 표면.
다면체의 중심 역할은 주로 다면체에 대한 해당 결과에서 다른 몸체와 관련된 많은 결과를 얻는다는 사실에 의해 결정됩니다. 다면체에서 극한까지 전달하여 몸체의 부피와 표면적의 정의를 상기하는 것으로 충분합니다.
또한 다면체 자체는 매우 의미있는 연구 주제를 나타내며 특히 정리 및 문제와 관련된 많은 흥미로운 속성으로 모든 신체 중에서 두드러집니다. 예를 들어 면, 모서리 및 꼭짓점의 수에 대한 오일러의 정리, 정다면체의 대칭, 다면체로 공간을 채우는 문제 등을 상기할 수 있습니다.
다면체는 기하학의 본질인 엄격한 논리와 살아있는 공간 상상력의 조합 개발을 위한 공간 표현의 개발을 위한 특히 풍부한 자료를 제공하기 때문에 학교 커리큘럼에서 더 많은 관심을 기울여야 합니다. 다면체에 관한 가장 단순한 사실조차도 그러한 연결이 필요하며, 이 경우에는 완전히 쉬운 작업이 아닙니다. 평행육면체의 대각선이 한 점에서 교차하는 것과 같은 단순한 사실조차도 그것을 시각적으로 보기 위한 상상력의 노력이 필요하고 엄격한 증명이 필요합니다.
또한, 입체 기하학 연구의 맨 처음부터 다면체의 사용은 다양한 교훈적 목적을 제공합니다. 다면체에서 공간에서 선과 평면의 평행도와 직각도의 사용을 보여주기 위해 공간에서 선과 평면의 상대적 위치를 설명하는 것이 편리합니다. 특정 모델에 대한 입체 측정의 첫 번째 정리에 대한 설명은 해당 주제에 대한 학생들의 관심을 높입니다.
또한 수학 교육의 주요 임무 중 하나는 학생들의 추상적 사고력을 개발하는 것입니다. 이 목표는 저학년뿐만 아니라 고학년에서도 시각 보조 장치를 사용함으로써 크게 촉진됩니다. "다면체"라는 주제는 특히 학생들이 시각 자료를 독립적으로 제작하는 이 목표를 실현할 수 있는 충분한 기회를 제공합니다. 다면체의 모형을 만드는 과정에서 이론적 지식과 기술 외에도 학생들은 도면과 건설 문제의 실제 해결을 통해 형성된 새로운 개념을 강화합니다. 모델의 자체 제작으로 이미지가 부분적으로 생성되기 때문에 다양한 조작이 가능합니다. 동시에 모든 속성과 기능은 쉽게 학습되고 학생들의 기억에 단단히 고정됩니다.

기본 컨셉.

다면체는 모든 면이 평평한 다각형으로 둘러싸인 기하학적 몸체입니다. 얼굴.

얼굴 측면 - 갈비 살다면체와 가장자리의 끝 - 봉우리다면체. 면의 수에 따라 정사면체, 오면체 등으로 구분됩니다.

다면체라고 합니다 볼록한그것이 모두 평면의 한쪽 면에 있는 경우 각 면입니다.

볼록 다면체라고 합니다 옳은모든 면이 동일한 정다각형이면 각 꼭짓점에서 동일한 수의 모서리가 수렴되고 인접한 면은 동일한 각도를 형성합니다.

그림은 정사면체, 육면체, 팔면체, 십이면체 및 정이십면체를 보여줍니다. 그들의 형태는 완전함의 본보기입니다! 그리고 왜 정다면체는 그러한 이름을 얻었습니까? 어떤 기능이 있습니까? 일반 다면체의 모델을 만드는 방법은 무엇입니까? 이 놀라운 시체를 어디에서 찾을 수 있습니까?

이러한 질문과 다른 질문에 답하는 것이 이 작업의 목적입니다.

모든 정다면체는 면의 수가 다르며 이 수를 따서 명명됩니다.

사면체(from, tetra" - 4 및 그리스어 hedra" - a face)는 4개의 정삼각형으로 구성되며 3개의 모서리는 각 정점에서 수렴됩니다.

육면체 (그리스어, hexa"- 6 및 hedra"- face)는 6개의 정사각형 면을 가지며 3개의 모서리는 각 꼭짓점에서 수렴합니다.

육면체는 다음과 같이 더 잘 알려져 있습니다. 입방체(라틴어에서 cubus"; 그리스어에서 kubos".

팔면체(그리스어 okto - 8 및 hedra - face에서)는 8개의 면(삼각형)을 가지며 4개의 모서리가 각 정점에서 수렴합니다.

12면체(그리스어 dodeka - 12 및 hedra - face에서)는 12개의 면(오각형)을 가지며 3개의 모서리가 각 정점에서 수렴합니다.

정이십면체(그리스어 eikosi - 20 및 면체 - 면)는 20개의 면(삼각형)을 가지며 5개의 모서리가 각 꼭짓점에서 수렴합니다. (5, p.267-269)

더도 말고 덜도 말고 정확히 5개의 정다면체가 있다는 것이 밝혀졌습니다. 실제로, 정다면체를 얻으려면 각 꼭짓점에서 그의 정의에 따라 동일한 수의 면이 수렴되어야 하며, 각 면은 정다각형입니다.

다면체 각의 평면 각도의 합은 360°보다 작아야 합니다. 그렇지 않으면 다면체 표면을 얻을 수 없습니다. 부등식의 가능한 정수 솔루션을 통해 진행: 60k

정다면체에 대한 역사적 정보.

고대 그리스 철학자 플라톤(428 또는 427 BC - 348 또는 347)은 아카데미 숲에서 제자들과 대화를 나눴습니다(아카데미는 전설에 따르면 아테네 근처의 신성한 숲에 묻힌 고대 그리스 신화의 영웅입니다. , 어디에서 이름, 아카데미")는 그의 학교 모토 중 하나를 선언했습니다. "기하학을 모르는 사람은 허용되지 않습니다!"

정다면체는 플라톤 다면체라고도 합니다. 그들의 표시는 플라톤보다 몇 세기 전에 피타고라스 학파이지만.

대화 Timaeus ''에서 그는 정다면체를 네 가지 주요 요소와 연결했습니다. 사면체는 불을 상징했기 때문입니다. 상단이 위쪽으로 향합니다. 20면체 - 물, 왜냐하면 그는 가장 "능률적"입니다. 큐브 - 지구, 가장 "안정적"으로; 팔면체 - 공기, 가장 "바람이 잘 통하는". 다섯 번째 다면체인 12면체는 "존재하는 모든 것"을 구현한 것으로 전체 우주를 상징하며 주된 것으로 간주되었습니다. 정다면체는 플라톤보다 수세기 전에 피타고라스 학파에게 알려졌지만 플라톤 다면체라고 불립니다. (4, p.340)

I. Kepler가 세계의 조화로운 구조 시스템에서 중요한 장소를 정다면체로 차지했습니다.

다면적 형태를 관찰하고 고려하면 그 아름다움을 느낄 수 있을 뿐만 아니라 적용되는 중요성이 있는 몇 가지 패턴도 발견할 수 있습니다.

정확하고 반 규칙적인 몸체 중 일부는 자연에서 결정 형태로 발생하고 다른 일부는 가장 단순한 미생물 인 바이러스 형태로 발생합니다.

결정체는 다면적인 모양을 가진 몸체입니다. 다음은 그러한 몸체의 한 예입니다. 황철광 결정(황 황철광 FeS)은 12면체의 자연 모델입니다. 황철석(그리스어 "전나무"에서 - 불)은 황화물 그룹에서 가장 흔한 광물인 황화철 또는 황 황철광입니다. 황철석 결정은 종종 크기가 수 센티미터에 이르며 좋은 수집 재료입니다. 경도가 유사한 다른 미네랄과 다릅니다. 유리를 긁습니다.

우리의 어머니 지구가 올바른 3차원 형상의 진화를 지속적으로 겪고 있음이 주목되었습니다. 위의 그림과 지구의 구조와 과정을 비교하는 데이터가 많이 있습니다. 지구의 4가지 지질 시대는 일반 플라톤 다면체의 4가지 파워 프레임에 해당한다고 믿어집니다.

지구의 핵심은 행성에서 일어나는 모든 자연적 과정의 발달에 영향을 미치는 성장하는 결정의 모양과 특성을 가지고 있다는 가설이 있습니다. 이 수정의 "광선" 또는 오히려 그 힘장은 지구의 20면체-12면체 구조를 결정하며, 이는 지구에 새겨진 규칙적인 다면체의 투영이 지구의 지각에 나타난다는 사실에서 나타납니다: 20면체와 12면체 . 노드라고 하는 가장자리의 정점과 중간점에는 이해할 수 없는 많은 현상을 설명할 수 있는 여러 가지 특정 속성이 있다는 것이 밝혀졌습니다.

고대 세계의 가장 크고 가장 주목할만한 문화와 문명의 중심을 지구에 배치하면 지구의 적도와 지리적 극을 기준으로 위치의 패턴을 확인할 수 있습니다. 많은 광물 매장지가 20면체-12면체 격자를 따라 뻗어 있습니다. 이 갈비뼈의 교차점에서 훨씬 더 놀라운 일이 발생합니다. 페루, 북부 몽골, 아이티, Ob 문화 등 가장 고대 문화와 문명의 중심지가 있습니다. 이 지점에는 대기압의 최대값과 최소값, 세계 대양의 거대한 소용돌이, 여기 스코틀랜드 네스호, 버뮤다 삼각지대가 있습니다. 지구에 대한 추가 연구는 아마도 규칙적인 다면체가 중요한 위치를 차지하는이 아름다운 과학적 가설에 대한 태도를 결정할 것입니다.

소련 엔지니어 V. Makarov와 V. Morozov는 수십 년 동안 이 문제를 연구했습니다. 그들은 지구의 발달이 단계적으로 진행되었다는 결론에 도달했으며 현재 지구 표면에서 일어나는 과정으로 인해 20 면체 - 12 면체 패턴의 퇴적물이 나타났습니다. 1929년, S.N. 그의 작품에서 Kislitsin은 12면체-이십면체의 구조를 석유 및 다이아몬드 매장량과 비교했습니다.

V. Makarov와 V. Morozov는 현재 지구의 생명 과정이 12면체-이십면체의 구조를 가지고 있다고 주장합니다. 행성의 20개 지역(12면체의 꼭짓점)은 생물학적 생명(식물상, 동물군, 사람)의 기초를 형성하는 나가는 물질의 벨트 중심입니다. 모든 자기 이상 현상의 중심과 행성의 자기장은 삼각형 시스템의 노드에 있습니다. 또한 저자의 연구에 따르면 현재 가장 가까운 모든 천체는 화성, 금성, 태양에서 볼 수 있는 12면체-이십면체 시스템에 따라 과정을 정렬합니다. 유사한 에너지 프레임은 우주의 모든 요소(은하, 별 등)에 내재되어 있습니다.

대칭 연구의 관점에서 볼 때 지구의 십이면체-이십면체 파워 프레임의 개념을 행성으로 고려할 때 이러한 의미에서 지구는 살아있는 존재임을 인식해야 합니다. 그 영혼으로 P.A. Florensky는 자유 의지와 이성을 가지고 "기압권"이라고 불렀습니다.

D. Winter(미국 수학자)에 따르면 12면체 구조는 지구의 에너지 프레임뿐만 아니라 생명체의 구조에도 내재되어 있습니다. 난자가 분열하는 과정에서 먼저 4개의 세포로 구성된 사면체가 형성되고, 그 다음에는 팔면체, 정육면체, 마지막으로 배의 십이면체-이십면체 구조가 형성됩니다. 그리고 마지막으로 아마도 가장 중요한 것은 생명의 유전 암호의 DNA 구조가 (시간 축을 따라) 회전하는 12면체의 4차원적 스윕이라는 것입니다! 따라서 Metagalaxy에서 살아있는 세포에 이르기까지 전체 우주는 황금 부분에 비례하는 무한히 새겨진 12 면체와 20 면체라는 한 가지 원칙에 따라 건설된다는 것이 밝혀졌습니다!

플라톤과 관련된 다면체 패밀리가 있습니다. 이들은 반정형 볼록 다면체 또는 아르키메데스 다면체입니다. 그들은 모든 다면체 각도가 동일하고 모든 면이 정다각형이지만 여러 유형이 있습니다. 13 또는 14라고 함 아르키메데스 고체(pseudorhombicuboctahedron은 때때로 이 가족에 포함되지 않기 때문에 숫자는 정확하지 않습니다.)

또한, 그들은 프리즘과 엇각기둥의 두 가지 무한한 가족의 여러 신체 유형의 동일한 다면체 각도와 규칙적인면을 가지고 있습니다.

Kepler Johannes(Kepler I, 1571-1630)는 독일의 천문학자입니다. 행성 운동의 법칙을 발견했습니다. 1596년에 케플러는 지구 주위에 12면체를 기술하고 그 안에 20면체를 새기는 규칙을 제안했습니다. ("세계의 조화", 1619) I. Kepler는 행성의 궤도 사이의 거리는 서로 중첩된 플라톤 다면체를 기반으로 얻을 수 있다고 제안했습니다. 그의 계산 결과는 행성 궤도 사이의 실제 거리와 잘 일치했습니다.

아주 독창적인 케플러의 우주론적 가설은 태양계의 일부 속성을 정다면체의 속성과 연결하려고 시도한 것입니다. Kepler는 당시 알려진 6개의 행성 사이의 거리는 5개의 볼록 다면체(플라톤 다면체)의 크기로 표현된다고 제안했습니다. 이 가설에 따르면 행성이 회전하는 각 쌍의 천구 사이에 케플러는 플라톤 입체 중 하나를 새겼습니다. 팔면체는 태양에 가장 가까운 행성인 수성의 구 주위에 설명되어 있습니다. 이 팔면체는 금성의 구에 새겨져 있으며, 그 주위에 정이십면체가 설명되어 있습니다. 20면체 주위는 지구의 구이고 이 구 주위는 12면체입니다.

12면체는 화성의 구에 새겨져 있으며, 그 주위에 4면체가 설명되어 있습니다. 정사면체 주위에는 입방체에 새겨진 목성의 구가 묘사되어 있습니다. 마지막으로 큐브 주위에 토성의 구체가 설명되어 있습니다.

이 모델은 당시로서는 꽤 그럴듯해 보였습니다. 첫째, 이 모델을 사용하여 계산된 거리는 실제 거리에 매우 가깝습니다(당시 사용 가능한 측정 정확도를 고려함). 두 번째로, 케플러의 모델은 왜 6개의 행성(당시 알려진 수)이 6개 밖에 없는지 설명했습니다. 5개의 플라톤 다면체와 조화를 이루는 것은 6개의 행성이었습니다.

오일러 공식.

꼭짓점(B), 면(G), 모서리(R)의 수를 세고 결과를 표에 작성해 보겠습니다.

다면체
사면체
육면체
십이 면체
정이십면체

마지막 열에서 모든 다면체에 대해 동일한 결과: V+G-P=2. 이 놀라운 관계는 가장 위대한 수학자 중 한 명인 Leonard Euler(1707 - 1783)에 의해 증명되었으므로 공식은 그의 이름을 따서 명명되었습니다. 바로 오일러 공식입니다. 스위스에서 태어난 이 천재 과학자는 거의 평생을 러시아에서 살았고 우리는 그를 동포라고 칭송할 수 있습니다.

이 공식의 가장 놀라운 점은 정다면체 뿐만 아니라 모든 다면체에 해당된다는 것입니다!

관심을 끌기 위해 무작위로 가져온 여러 다면체에 대해 이것을 확인할 수 있습니다. (3, p.42)

우리 주변의 정다면체.

우리 세기 초 독일 생물학자인 E. Haeckel의 책 "자연의 형태의 아름다움"에서 다음과 같은 구절을 읽을 수 있습니다. 그리고 다양성은 인간의 예술이 창조한 모든 형태를 훨씬 능가합니다." 예를 들어, feodaria의 단세포 유기체는 20 면체 모양을 가지고 있습니다.

바이러스의 모양에 관한 논쟁에서 생물학자들의 관심의 초점이 된 것은 20면체였다는 것도 흥미롭습니다. 바이러스는 이전에 생각했던 것처럼 완벽하게 원형일 수 없습니다. 그 모양을 확립하기 위해 그들은 다양한 다면체를 가지고 바이러스에 원자의 흐름과 같은 각도로 빛을 비췄습니다. 단 하나의 다면체 만이 정확히 같은 그림자, 즉 20 면체를 제공한다는 것이 밝혀졌습니다. 위에서 언급한 기하학적 특성으로 인해 유전 정보를 저장할 수 있습니다. 정다면체는 가장 유리한 숫자입니다. 그리고 자연은 이것을 이용합니다. 우리에게 친숙한 일부 물질의 결정체는 정다면체 형태입니다. 따라서 입방체는 일반 염 NaCl의 결정 모양을 전달하고 알루미늄 - 칼륨 명반의 단결정은 팔면체 모양을, 황철광 FeS의 결정은 십이면체 모양을, 황산 안티몬은 사면체, 붕소 정이십면체이다.

흥미로운 과학적 가설은 (80년대 초반) 모스크바 엔지니어 V. Makarov와 V. Morozov였습니다. 그들은 지구의 핵심이 행성에서 일어나는 모든 자연적 과정의 발달에 영향을 미치는 성장하는 수정의 모양과 특성을 가지고 있다고 믿습니다. 이 수정의 광선 또는 오히려 그 힘장은 지구의 20 면체 - 12 면체 구조를 결정하며, 이는 지구의 지각에서 말하자면 지구에 새겨진 규칙적인 다면체의 투영이 나타난다는 사실에서 나타납니다. 20면체와 12면체. 저자가 노드라고 부르는 62개의 꼭짓점과 모서리의 중간점에는 이해할 수 없는 현상을 설명할 수 있는 여러 가지 특정 속성이 있습니다.

고대 세계의 가장 크고 가장 주목할만한 문화와 문명의 중심을 지구에 배치하면 지구의 적도와 지리적 극을 기준으로 위치의 패턴을 확인할 수 있습니다. 많은 광물 매장지가 20면체-12면체 격자를 따라 뻗어 있습니다. 이 갈비뼈의 교차점에서 훨씬 더 놀라운 일이 발생합니다. 페루, 북부 몽골, 아이티, Ob 문화 등 가장 고대 문화와 문명의 중심지가 있습니다. 이 지점에는 대기압의 최대값과 최소값, 세계 대양의 거대한 소용돌이, 여기 스코틀랜드 네스호, 버뮤다 삼각지대가 있습니다. 지구에 대한 추가 연구는 아마도 규칙적인 다면체가 중요한 위치를 차지하는이 아름다운 과학적 가설에 대한 태도를 결정할 것입니다. (2, p.2)

결론.

연구 작업은 흥미롭고 다양했으며 우리 주변의 세계가 기하학의 법칙을 따른다는 것을 이해하게 했습니다.

초록 작업의 일환으로 주제에 대한 문헌을 연구하고 정다면체의 특징을 확인하고 정다면체의 드로잉, 개발 및 모델을 작성했습니다.

다면체 3차원 공간에서, 어떤 다각형의 각 측면이 동시에 다른 측면(단 하나만)이 되도록 유한한 수의 평면 다각형의 모음, 첫 번째(이 측면을 따라)에 인접하여 호출됨. 구성하는 모든 다각형에서 다면체, 인접한 폴리곤으로 이동하여 그 중 하나에 도달할 수 있으며, 차례로 인접한 폴리곤 등으로 이동할 수 있습니다. 이러한 폴리곤을 면이라고 하고, 측면을 모서리로, 정점을 꼭짓점이라고 합니다. 다면체.

우리의 세계는 대칭으로 가득 차 있습니다. 고대부터 아름다움에 대한 우리의 생각은 아름다움과 관련되어 있습니다. 아마도 이것은 플라톤과 유클리드에서 오일러와 코시에 이르기까지 많은 저명한 사상가의 관심을 끌었던 대칭의 놀라운 상징인 정다면체에 대한 인간의 지속적인 관심을 설명합니다.

지구의 기본 요소의 모양은 정육면체, 공기는 ​​팔면체, 불은 정사면체, 물은 정이십면체이며, 창조주께서는 온 세상에 오각형 십이면체의 모양을 주셨습니다. 피타고라스 학파는 지구가 구형이라고 가르쳤습니다. 피타고라스에 따르면 5개의 신체 인물이 있습니다. 가장 높은 신 자체가 12면체의 기하학적 모양을 기반으로 우주를 건설했습니다. 지구는 우주와 비슷하며 플라톤에게 지구도 12면체입니다.

다면체 이론이 처음 등장한 그리스 수학은 유명한 사상가 플라톤의 큰 영향을 받아 발전했습니다.
플라톤(427-347 BC) - 위대한 고대 그리스 철학자, 아카데미의 창시자이자 플라톤주의 전통의 창시자. 그의 가르침의 본질적인 특징 중 하나는 이상적인 대상인 추상화에 대한 고려입니다. 플라톤의 사상을 받아들인 수학은 유클리드 시대부터 정확하게 추상적이고 이상적인 대상을 연구해 왔습니다. 그러나 플라톤 자신과 많은 고대 수학자들은 이상이라는 용어에 추상적 의미뿐만 아니라 최선의 의미에도 투자했습니다. 고대 수학자들의 전통에 따르면 모든 다면체 중에서 정다각형이 면으로 가장 좋은 다면체입니다.

다면체 이론은 매혹적이고 활기찬 수학 분야 중 하나입니다. 제시된 초록에서는 이 이론의 한 부분만 고려했습니다. 일반 다면체 - 플라톤 다면체 - 항성 정다면체뿐만 아니라 면도 규칙적이지만 이름이 다른 다각형인 소위 반정형 다면체 또는 아르키메데스 다면체를 얻을 수 있습니다.

서지

1. Dorofeev G.V., Peterson L.G. 수학. 6 학년. 파트 3 - M: Balass, 1988.

2. Sharygin I.F., Erganzhieva L.N. 시각적 기하학 V-VI 등급을 위한 교과서. - 남: Miros 1992.

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5. 포고레로프 A.V. 기하학. 7-11학년용 교과서. M., 교육, 1992.

- (정의) 모든 면이 평평한 다각형으로 둘러싸인 기하학적 몸체 - 얼굴들.

다면체의 예:

면의 측면을 모서리라고 하고 모서리의 끝을 꼭짓점이라고 합니다. 면의 수에 따라 4면체, 5면체 등으로 구분됩니다. 다면체라고 합니다 볼록한, 모두 각 면의 평면 측면에 있는 경우. 다면체라고 합니다 옳은, 면이 정다각형(즉, 모든 변과 각이 같은 다각형)이고 꼭짓점에서 모든 다면체 각이 같은 경우. 정다면체에는 정사면체, 정육면체, 팔면체, 십이면체, 정이십면체의 다섯 가지 유형이 있습니다.

다면체 3차원 공간에서(다면체의 개념) - 다음과 같은 유한한 수의 평면 다각형 모음

1) 한 쪽의 각 면은 동시에 다른 쪽의 면(단 하나만)이며 첫 번째(이쪽에서)에 인접하여 호출됩니다.

2) 다면체를 구성하는 임의의 다각형에서 인접한 다각형으로 이동하고 이 다각형에서 인접한 다각형 등으로 이동하여 임의의 다각형에 도달할 수 있습니다.

이러한 다각형을 얼굴들, 그들의 측면 갈비 살, 그리고 그들의 정점은 봉우리다면체.

다면체의 꼭짓점

다면체 모서리

다면체의 면

다면체는 면 중 어느 한 면의 한 면에 놓이면 볼록하다고 합니다.

이 정의에 따르면 볼록 다면체의 모든 면은 평평한 볼록 다각형입니다. 볼록 다면체의 표면은 서로 다른 평면에 있는 면으로 구성됩니다. 이 경우 다면체의 모서리는 다각형의 측면이고 다면체의 꼭짓점은 면의 꼭짓점이며 다면체의 평평한 모서리는 다각형의 모서리인 면입니다.

모든 정점이 두 개의 평행한 평면에 있는 볼록 다면체를 각형. 프리즘, 피라미드 및 잘린 피라미드는 프리즘의 특수한 경우입니다. 각형의 모든 측면은 삼각형 또는 사변형이고 사각형의 면은 사다리꼴 또는 평행사변형입니다.

다면체는 기하학에서 중요한 위치를 차지할 뿐만 아니라 모든 사람의 일상 생활에서도 발생합니다. 성냥갑으로 시작하여 건축 요소로 끝나는 다양한 다각형 형태의 인위적으로 만든 생활 용품은 말할 것도없고 큐브 형태의 수정 (소금), 프리즘 (수정), 피라미드 (회석), 팔면체 (다이아몬드), 등 라.

다면체의 개념, 기하학의 다면체 유형

과학으로서의 기하학은 3차원 공간에서 제한된 평면(면)에 의해 형성되는 3차원 물체의 특성과 특성을 연구하는 입체 기하학 섹션을 "다면체"라고 합니다. 다면체의 유형에는 면의 수와 모양이 다른 12개 이상의 대표자가 포함됩니다.

그러나 모든 다면체에는 다음과 같은 공통 속성이 있습니다.

1. 그들 모두는 3개의 필수 구성요소를 가지고 있습니다: 면(다각형의 표면), 꼭짓점(면의 접합에 형성된 모서리), 모서리(도형의 측면 또는 두 면의 접합에 형성된 세그먼트) ).
2. 각 다각형 모서리는 서로 인접한 두 개의 면만 연결합니다.
3. 볼록성은 몸체가 면 중 하나가 놓이는 평면의 한쪽에만 완전히 위치하는 것을 의미합니다. 이 규칙은 다면체의 모든 면에 적용됩니다. 이러한 입체 기하학 도형을 볼록 다면체라고 합니다. 예외는 별 모양의 다면체로, 정다면체 기하 입체의 파생물입니다.

다면체는 다음과 같이 나눌 수 있습니다.

1. 볼록 다면체의 유형으로 일반 또는 고전(기둥, 피라미드, 평행 육면체), 일반(플라톤 다면체라고도 함), 반정형(두 번째 이름 - 아르키메데스 다면체)의 클래스로 구성됩니다.
2. 볼록하지 않은 다면체(별모양).

프리즘과 그 속성

기하학의 한 분야로서의 입체학은 3차원 도형, 다면체의 유형(프리즘이 그 중 하나임)의 속성을 연구합니다. 프리즘은 평행 평면에 놓인 두 개의 절대적으로 동일한 면(베이스라고도 함)과 평행 사변형 형태의 n번째 측면을 갖는 기하학적 몸체입니다. 차례로, 프리즘에는 다음과 같은 유형의 다면체를 포함하여 여러 종류가 있습니다.

1. 밑변이 평행 사변형이면 평행 육면체가 형성됩니다. 2 쌍의 동일한 반대 각도와 2 쌍의 합동 반대면이있는 다각형입니다.
2. 베이스에 수직인 갈비뼈가 있습니다.
3. 면과 밑면 사이에 직각이 아닌 각도(90도 제외)가 있는 것이 특징입니다.
4. 일반 프리즘은 측면이 동일한 형태의베이스가 특징입니다.

프리즘의 주요 속성:

• 합동 염기.
• 프리즘의 모든 모서리는 동일하고 서로 평행합니다.
• 모든 측면은 평행 사변형입니다.

피라미드

피라미드는 하나의 밑면과 n 번째 삼각형 면으로 구성된 기하학적 몸체이며 한 점인 꼭짓점에서 연결됩니다. 피라미드의 측면이 반드시 삼각형으로 표시되는 경우 밑면에는 삼각형 다각형 또는 사각형 및 오각형 등이 무한대로있을 수 있습니다. 이 경우 피라미드의 이름은 밑면의 다각형에 해당합니다. 예를 들어, 피라미드 바닥에 삼각형이 있는 경우 - 이것은 사변형 - 사각형 등입니다.

피라미드는 원뿔 모양의 다면체입니다. 위에 나열된 것 외에도이 그룹의 다면체 유형에는 다음 대표자가 포함됩니다.

1. 밑면에 정다각형이 있고 높이가 밑면에 새겨지거나 그 주위에 설명된 원의 중심에 투영됩니다.
2. 측면 모서리 중 하나가 밑면과 직각으로 교차하면 직사각형 피라미드가 형성됩니다. 이 경우 이 모서리를 피라미드의 높이라고 하는 것도 공정합니다.

피라미드 속성:

• 피라미드의 모든 측면 모서리가 합동(같은 높이)이면 모두 같은 각도로 밑면과 교차하고 밑면 주위에 중심이 있는 원을 그릴 수 있습니다. 피라미드.
• 정다각형이 피라미드의 밑면에 있으면 모든 변의 모서리가 합동이고 면은 이등변 삼각형입니다.

정다면체 : 다면체의 종류와 성질

입체 측정법에서 특별한 장소는 동일한 수의 모서리가 연결된 꼭짓점에서 절대적으로 동일한 면을 가진 기하학적 몸체로 채워집니다. 이러한 다면체를 플라톤 다면체 또는 정다면체라고 합니다. 이러한 속성을 가진 다면체 유형에는 5개의 숫자만 있습니다.

1. 사면체.
2. 육면체.
3. 팔면체.
4. 십이 면체.
5. 정이십면체.

정다면체의 이름은 고대 그리스 철학자 플라톤의 이름을 따서 지어졌습니다. 플라톤은 이러한 기하학적 물체를 자신의 글에서 설명하고 흙, 물, 불, 공기와 같은 자연 요소와 연결했습니다. 다섯 번째 그림은 우주의 구조와 유사성을 부여 받았습니다. 그의 의견으로는 모양이 자연적인 요소의 원자는 정다면체의 유형과 유사합니다. 가장 매혹적인 속성인 대칭으로 인해 이 기하학적 물체는 고대 수학자와 철학자뿐만 아니라 모든 시대의 건축가, 예술가 및 조각가에게도 큰 관심을 받았습니다. 절대 대칭을 가진 5 가지 유형의 다면체의 존재는 근본적인 발견으로 간주되었으며 신성한 원칙과의 연결도 부여되었습니다.

육면체와 그 속성

육각형의 형태로 플라톤의 후계자는 지구의 원자 구조와 유사성을 가정했습니다. 물론 현재로서는 이 가설이 완전히 반박되었지만, 현대인의 미학으로 유명인들의 마음을 사로잡는 인물을 막지는 못한다.

기하학에서 정육면체라고도 하는 육면체는 일종의 프리즘인 평행 육면체의 특수한 경우로 간주됩니다. 따라서 큐브의 속성은 큐브의 모든 면과 모서리가 서로 동일하다는 유일한 차이점과 연관됩니다. 다음 속성은 다음 속성을 따릅니다.

1. 정육면체의 모든 모서리는 합동이며 서로에 대해 평행한 평면에 있습니다.
2. 모든 면은 합동인 정사각형(정육면체에는 총 6개가 있음)이며, 그 중 아무 것도 밑변으로 사용할 수 있습니다.
3. 모든 면간각은 90도입니다.
4. 각 정점에서 동일한 수의 가장자리, 즉 3이 나옵니다.
5. 정육면체에는 대칭의 중심이라고 불리는 육면체의 대각선의 교차점에서 모두 교차하는 9가 있습니다.

사면체

사면체는 각 꼭짓점이 세 면의 접합점인 삼각형 형태의 동일한 면을 가진 사면체입니다.

정사면체의 속성:

1. 사면체의 모든 면 - 이로부터 사면체의 모든 면이 합동입니다.
2. 밑면은 규칙적인 기하학적 도형, 즉 같은면을 가지므로 사면체의 면은 같은 각도로 수렴합니다. 즉, 모든 각도가 같습니다.
3. 각 꼭짓점의 평평한 각의 합은 180도입니다. 모든 각이 같으므로 정사면체의 모든 각은 60도입니다.
4. 각 정점은 반대쪽(직교 중심) 면 높이의 교차점에 투영됩니다.

팔면체와 그 속성

정다면체의 유형을 설명할 때, 밑면에 함께 붙어 있는 두 개의 사각 정각 피라미드로 시각적으로 표현될 수 있는 팔면체와 같은 물체에 주목하지 않을 수 없습니다.

팔면체 속성:

1. 기하학적 몸체의 이름 자체가 면의 수를 나타냅니다. 팔면체는 8개의 합동인 정삼각형으로 구성되며, 각 꼭짓점에는 같은 수의 면이 수렴합니다. 즉, 4입니다.
2. 팔면체의 모든 면이 같으므로 경계면 각도도 각각 60도이고 모든 꼭짓점의 평면 각도의 합은 240도입니다.

십이 면체

기하학적 몸체의 모든 면이 정오각형이라고 상상하면 12개의 다각형으로 구성된 12면체를 얻습니다.

십이면체 속성:

1. 세 개의 면이 각 정점에서 교차합니다.
2. 모든 면은 동일하고 모서리 길이와 면적이 동일합니다.
3. 12면체는 15개의 축과 대칭면을 가지며 그 중 어느 하나가 면의 꼭짓점과 반대쪽 가장자리의 중간을 통과합니다.

정이십면체

12면체보다 덜 흥미로운 20면체는 20개의 동일한 면이 있는 3차원 기하학적 몸체입니다. 정 20면체의 속성 중 다음을 확인할 수 있습니다.

1. 정이십면체의 모든 면은 이등변 삼각형입니다.
2. 다면체의 각 꼭짓점에는 5개의 면이 수렴하고, 꼭짓점의 인접한 각의 합은 300도입니다.
3. 정이십면체는 정이십면체와 마찬가지로 15개의 축과 대칭면이 반대면의 중점을 통과합니다.

반정다각형

플라톤 다면체 외에도 볼록 다면체 그룹에는 잘린 정다면체인 아르키메데스 다면체도 포함됩니다. 이 그룹의 다면체 유형에는 다음과 같은 속성이 있습니다.

1. 기하체는 여러 유형의 쌍으로 동일한 면을 가지고 있습니다. 예를 들어 잘린 사면체는 일반 사면체와 마찬가지로 8개의 면을 갖지만 아르키메데스 입체의 경우 4개의 면은 삼각형이고 4개의 면은 육각형입니다.
2. 한 꼭짓점의 모든 각도는 합동입니다.

별 다면체

비체적 유형의 기하학적 몸체의 대표자는 면이 서로 교차하는 별 모양의 다면체입니다. 두 개의 규칙적인 3차원 몸체를 병합하거나 면을 계속하여 형성할 수 있습니다.

따라서 이러한 별 모양의 다면체는 다음과 같이 알려져 있습니다.

이 단원에서는 공간의 대칭 유형을 설명하고 정다면체의 개념에 대해 알아봅니다.

평면도에서와 같이 공간에서 우리는 점과 선에 대한 대칭을 고려할 것이지만 추가로 평면에 대한 대칭이 나타날 것입니다.

정의.

점 A 및 점 O가 선분의 중간점인 경우 점 O(대칭 중심)에 대해 대칭이라고 합니다. 점 O는 자신에 대해 대칭입니다.

주어진 점 A에 대해 점 O에 대해 대칭인 점을 얻으려면 점 A와 O를 지나는 직선을 그리고 점 O에서 OA와 같은 선분을 따로 두고 원하는 점( 그림 1).

쌀. 1. 한 점에 대한 대칭

유사하게, 점 B 및는 점 O에 대해 대칭입니다. O가 세그먼트의 중간점이기 때문입니다.

따라서 평면의 각 점이 평면의 다른 점으로 이동하는 법칙이 주어지며 모든 거리, 즉 .

공간의 선에 대한 대칭을 고려하십시오.

어떤 직선 a에 대해 주어진 점 A에 대한 대칭 점을 얻으려면 점 A에서 직선으로 수직선을 낮추고 그 위에 동일한 선분을 설정해야 합니다(그림 2).

쌀. 2. 공간상의 직선에 대한 대칭

정의.

점 A 및 선이 선분의 중간을 통과하고 선분에 수직인 경우 선 a(대칭 축)에 대해 대칭이라고 합니다. 선의 각 점은 자체적으로 대칭입니다.

정의.

점 A 및 평면이 세그먼트의 중간을 통과하고 수직인 경우 평면(대칭 평면)에 대해 대칭이라고 합니다. 평면의 각 점은 자체적으로 대칭입니다(그림 3).

쌀. 3. 평면에 대한 대칭

일부 기하학적 도형은 대칭 중심, 대칭 축, 대칭 평면을 가질 수 있습니다.

정의.

그림의 각 점이 같은 그림의 어떤 점에 대해 대칭인 경우 점 O를 그림의 대칭 중심이라고 합니다.

예를 들어, 평행사변형과 평행육면체에서 모든 대각선의 교차점은 대칭의 중심입니다. 평행 육면체에 대해 설명하겠습니다.

쌀. 4. 평행 육면체의 대칭 중심

따라서 평행 육면체의 점 O에 대한 대칭으로 점 A는 점으로 가고 점 B는 점으로 가고, 따라서 상자는 그 자체로 들어갑니다.

정의.

도형의 각 점이 같은 도형의 어떤 점에 대해 대칭인 경우 직선을 도형의 대칭축이라고 합니다.

예를 들어, 마름모의 각 대각선은 대칭 축이며 마름모는 대각선 중 하나에 대해 대칭일 때 자체로 변형됩니다.

공간의 예를 고려하십시오 - 직육면체(측면 모서리는 밑면에 수직이고 밑면에서 동일한 직사각형). 이러한 평행 육면체에는 대칭 축이 있습니다. 그 중 하나는 평행 육면체의 대칭 중심 (대각선의 교차점)과 상부 및 하부 기저의 중심을 통과합니다.

정의.

도형의 각 점이 같은 도형의 어떤 점에 대해 대칭인 경우 평면을 도형의 대칭 평면이라고 합니다.

예를 들어, 직육면체에는 대칭 평면이 있습니다. 그 중 하나는 위쪽 및 아래쪽 베이스의 반대쪽 가장자리 중간을 통과합니다(그림 5).

쌀. 5. 직육면체의 대칭면

대칭 요소는 정다면체에 내재되어 있습니다.

정의.

볼록 다면체의 모든 면이 동일한 정다각형이고 동일한 수의 모서리가 각 정점에서 수렴하는 경우 볼록 다면체를 정다각형이라고 합니다.

정리.

면이 정 n각형인 정다면체는 없습니다.

증거:

가 정육각형인 경우를 고려하십시오. 모든 내부 각도는 동일합니다.

그런 다음 내부 각도에서 더 커질 것입니다.

다면체의 각 꼭짓점에서 최소한 3개의 모서리가 수렴되며, 이는 각 꼭짓점이 최소한 3개의 평평한 각을 포함한다는 것을 의미합니다. 이들의 총합(각각이 보다 크거나 같다고 가정)은 보다 크거나 같습니다. 이것은 다음과 같은 진술과 모순됩니다. 볼록 다면체에서 각 꼭짓점의 모든 평면 각도의 합은 .보다 작습니다.

정리가 증명되었습니다.

큐브(그림 6):

쌀. 6. 큐브

큐브는 6개의 사각형으로 구성됩니다. 정사각형은 정다각형입니다.

각 꼭짓점은 세 개의 정사각형으로 이루어진 꼭짓점입니다. 예를 들어, 꼭짓점 A는 정사각형 면 ABCD에 공통이고, ;

각 꼭짓점에서 모든 평면 각의 합은 3개의 직각으로 구성되어 있으므로 입니다. 이것은 정다면체의 개념을 만족시키는 보다 작습니다.

큐브에는 대칭 중심이 있습니다 - 대각선의 교차점.

정육면체에는 대칭축이 있습니다. 예를 들어 직선 a와 b(그림 6)에서 직선 a는 반대쪽 면의 중간점을 통과하고 b는 반대쪽 모서리의 중간점을 통과합니다.

정육면체에는 선과 b를 통과하는 평면과 같은 대칭 평면이 있습니다.

2. 정사면체(모든 모서리가 서로 동일한 정삼각뿔):

쌀. 7. 정사면체

정사면체는 4개의 정삼각형으로 구성됩니다.

정사면체는 에서 세 개의 평면각으로 구성되어 있기 때문에 각 꼭짓점에서 모든 평면 각도의 합은 입니다. 이것은 정다면체의 개념을 만족시키는 보다 작습니다.

정사면체는 대칭축을 가지며, 예를 들어 직선 MN과 같이 마주보는 모서리의 중점을 통과합니다. 또한, MN은 교차선 AB와 CD 사이의 거리이고, MN은 모서리 AB와 CD에 수직입니다.

정사면체는 대칭면을 가지며, 각각은 모서리와 반대쪽 모서리의 중간점을 통과합니다(그림 7).

정사면체는 대칭 중심이 없습니다.

3. 정팔면체:

8개의 정삼각형으로 구성됩니다.

네 모서리는 각 정점에서 수렴합니다.

정팔면체는 4개의 평면 각으로 구성되어 있기 때문에 각 꼭짓점에서 모든 평면 각도의 합은 입니다. 이것은 정다면체의 개념을 만족시키는 보다 작습니다.

4. 정이십면체:

20개의 정삼각형으로 구성됩니다.

5개의 모서리는 각 정점에서 수렴합니다.

정이십면체는 5개의 평면 각으로 구성되어 있기 때문에 각 꼭짓점에서 모든 평면 각도의 합은 입니다. 이것은 정다면체의 개념을 만족시키는 보다 작습니다.

5. 정십이면체:

12개의 정오각형으로 구성됩니다.

세 개의 모서리는 각 정점에서 수렴합니다.

각 꼭짓점에서 모든 평면 각도의 합은 다음과 같습니다. . 이것은 정다면체의 개념을 만족시키는 보다 작습니다.

그래서 우리는 공간에서 대칭의 유형을 고려하고 엄격하게 정의했습니다. 우리는 또한 이러한 다면체와 그 속성의 예를 고려한 정다면체의 개념을 정의했습니다.

서지

1. I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. 기하학. 10-11학년: 교육 기관 학생들을 위한 교과서(기본 및 프로필 수준) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5th ed., Rev. 그리고 추가 - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: 아프다.
2. Sharygin I.F. 기하학. 10-11학년: 일반 교육 기관용 교과서 / Sharygin I. F. - M.: Bustard, 1999. - 208 p.: ill.
3. E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. 기하학. 10학년: 수학에 대한 심층적이고 프로필 연구를 갖춘 일반 교육 기관용 교과서 / E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6판, 고정관념. - M.: Bustard, 2008. - 233 p.: ill.

1. Matemonline.com().
2. Fmclass.ru ().
3. 5class.net().

숙제

1. 직육면체의 대칭 축 수를 지정합니다.
2. 정오각형 프리즘의 대칭축 수를 나타냅니다.
3. 팔면체의 대칭면 수를 나타냅니다.
4. 모든 대칭 요소가 있는 피라미드를 만드십시오.