二等辺三角形の面積を求めるためのすべての式。 三角形の面積の求め方（公式）

それは学童や学生の前だけでなく、実際の生活の中でも起こります。 たとえば、建設中に屋根の下のファサード部分を仕上げる必要があります。 必要な材料の量を計算する方法は？

多くの場合、そのような作業は、布や革を扱う職人が直面しています。 確かに、マスターがカットしなければならない細部の多くは、二等辺三角形の形をしています。

したがって、二等辺三角形の面積を見つけるのに役立ついくつかの方法があります。 1 つ目は、ベースと高さで計算することです。

解決策として、底辺 MN と高さ PO を持つ三角形 MNP を明確にするために構築する必要があります。 それでは、図面で何かを構築してみましょう。点 P からベースに平行な線を引き、点 M から高さに平行な線を引きます。 交点を Q と呼びましょう。 二等辺三角形の面積を見つける方法を見つけるには、得られた三角形 MP の側面が既に対角線になっている四角形 MOPQ を考慮する必要があります。

まず長方形であることを証明しましょう。 私たちは自分たちで作ったので、MO と OQ の辺が平行であることがわかっています。 また、QM 側と OP 側も平行です。 角 POM は直角なので、角 OPQ も直角です。 したがって、結果の四角形は長方形になります。 その面積を見つけるのは難しくありません。PO と OM の積に等しくなります。 OM は、この三角形 MPN の底辺の半分です。 このことから、作成した長方形の面積は、直角三角形の高さと底辺の積の半分に等しいことがわかります。

私たちの前に設定されたタスクの第 2 段階、つまり三角形の面積を決定する方法は、取得した長方形が特定の二等辺三角形の面積に対応するという事実を証明することです。三角形は、底辺と高さの半分の積にも等しくなります。

まず、三角形の PON と PMQ を比較してみましょう。 一方の直角は高さによって形成され、もう一方の直角は長方形の角であるため、それらは両方とも長方形です。 それらの斜辺は二等辺三角形の辺であるため、それらも等しいです。 脚 PO と QM も、長方形の平行な辺として等しくなります。 したがって、三角形PONと三角形PMQの面積は互いに等しくなります。

長方形QPOMの面積は、三角形PQMとMOPの合計に等しくなります。 組み込みの三角形 QPM を三角形 PON に置き換えると、定理の導出のために与えられた三角形の合計が得られます。 これで、底辺と高さが与えられた二等辺三角形の面積を見つける方法がわかりました - それらの半積を計算します。

しかし、底辺と辺が与えられた二等辺三角形の面積を見つける方法を学ぶことができます. ここにも 2 つのオプションがあります: ヘロンとピタゴラスの定理です。 ピタゴラスの定理を使った解を考えてみましょう。 たとえば、高さが PO の同じ PMN を考えてみましょう。

直角三角形では、POM MP は斜辺です。 その 2 乗は、PO と OM の 2 乗の和に等しくなります。 そして、OM は私たちが知っている底の半分なので、簡単に OM を見つけて数を 2 乗することができます。 得られた数値を斜辺の 2 乗から引くと、もう一方の脚の 2 乗 (二等辺三角形の高さ) が何に等しいかがわかります。 違いから見つけ、直角三角形の高さを知ることで、目の前の課題に答えを出すことができます。

高さにベースを掛けて、結果を半分に割るだけです。 なぜこれを行うべきかについては、証明の最初のバージョンで説明しました。

側面と角度を計算する必要がある場合があります。 次に、正弦と余弦を含む式を使用して高さと底辺を見つけ、再びそれらを掛けて、結果を半分に割ります。

命令

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ノート

ソース:

まず、表記について同意しましょう。 脚は、直角に隣接する直角三角形の辺と呼ばれます (つまり、他の辺と 90 度の角度を成します)。 脚 a と b の長さを表すことに同意します。 脚の反対側の直角三角形の鋭角の値は、それぞれAとBと呼ばれます。 斜辺は、直角の反対側にある直角三角形の辺です (つまり、直角の反対側にあり、三角形の他の辺と鋭角を形成します)。 斜辺の長さをsとする。 必要な面積を S で表します。

命令

式 S = (a ^ 2) / (2 * tg (A)) を適用するのは、脚 (a) の 1 つだけが与えられているが、この脚 (A) の反対側の角度もわかっている場合です。 記号 "^2" は 2 乗を表します。

脚 (a) の 1 つだけが与えられているが、この脚 (B) に隣接する角度もわかっている場合は、式 S=(a^2)*tg(B)/2 d を使用します。

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ソース:

• 「大学への志願者のための数学のマニュアル」、編。 おやすみなさい。 ヤコブレヴァ、1982年。

二等辺三角形は、2 つの辺が等しい三角形です。 この三角形の面積は、いくつかの方法で計算できます。

命令

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ノート

二等辺三角形の兆候があります。
1) 二等辺三角形には 2 つの等しい角度があります。
2) 三角形の高さは中央値と一致します。
3) 三角形の高さは二等分線と一致します。
4) 三角形の二等分線はその中線と一致します。
5) 二等辺三角形には 2 つの中央値が等しい。
6) 二等辺三角形は 2 つの高さが等しい。
7) 二等辺三角形は 2 つの二等分線が等しい.

ソース:

• 二等辺三角形の面積

数学と幾何学の授業で考慮される図形の 1 つは、三角形です。 三角形は、3 つの頂点 (コーナー) と 3 つの辺を持つ多角形です。 3 つのセグメントによってペアで接続された、3 つの点で囲まれた平面の一部。 この図のさまざまな値を見つけることに関連する多くの問題があります。 それらの中の一つ - 四角. 問題の初期データに応じて、面積を決定するための式がいくつかあります。 三角形.

命令

辺の長さaとそこに描かれた高さhがわかれば 三角形、式 S= ?h*a を使用します。

三角形の 1 つの辺の長さがわかっていて、その高さをこの辺に下げた場合、辺の長さに高さを掛けて、結果を 2 で割ります。

目の前に直角三角形がある場合は、定規を使用してその脚の長さ、つまり直角に隣接する辺の長さを測定します。 脚の長さを掛けて、その結果を 2 で割ります。

2 つの三角形の間の角度に関するデータがあり、これらの辺の長さがわかっている場合は、次の式を使用して三角形の面積を求めます。

St = ½ * A * B * sinα、ここで St は三角形の面積です。 A と B は三角形の辺の長さです。 α - これらの辺の間の角度。

S \u003d 1/2（AB + BC + AC）\u003d p r。

半周を計算します。

p = (5 + 7 + 10) = 11。

目的の値を計算します。

S = √(11 (11-5) (11-7) (11-10)) ≈ 16.2.

デカルト座標系で三角形を一意に定義する 3 つの点が頂点です。 各座標軸に対するそれらの位置がわかれば、周囲によって制限されたものを含め、この平らな図形の任意のパラメーターを計算できます。 四角. これにはいくつかの方法があります。

命令

ヘロンの公式を使って面積を計算する 三角形. 図の 3 辺の寸法が関係するので、計算を開始します。 各辺の長さは、座標軸上の投影の長さの 2 乗の和の平方根に等しくなければなりません。 座標を A(X₁,Y₁,Z₁)、B(X₂,Y₂,Z₂)、C(X₃,Y₃,Z₃)とすると、これらの辺の長さは AB = √((X₁- X₂)² + (Y₁ -Y₂)² + (Z₁-Z₂)²)、BC = √((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²)、AC = √(( X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃)²)。

計算を簡単にするために、補助変数 - 半周 (P) を入力します。 それから、これはすべての辺の長さの合計の半分です: P \u003d ½ * (AB + BC + AC) \u003d ½ * (√ ((X₁-X₂)² + (Y₁-Y₂)² + (Z₁- Z₂)²) + √ ((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²) + √((X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃) ²)。

計算する 四角(S) ヘロンの公式 - 半周の積の根と、それと各辺の長さとの差を取ります。 S = √(P*(P-AB)*(P-BC)*(P-AC)) = √(P*(P-√((X₁-X₂)) ² + ( Y₁-Y₂)² + (Z₁-Z₂)²))*(P-√((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²))*(P-√ ((X₁ -X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃)²))。

実用的な計算には、専用の計算機を使用すると便利です。 これらは、適切なフォームに入力した座標に基づいて必要なすべての計算を行う、一部のサイトのサーバーでホストされているスクリプトです。 そのような唯一のサービス - 計算の各ステップの説明と正当化は提供しません。 したがって、最終結果のみに関心があり、一般的な計算には関心がない場合は、たとえば、ページ http://planetcalc.ru/218/ にアクセスしてください。

フォーム フィールドに、各頂点の各座標を入力します。 三角形- それらは、Ax、Ay、Az などとしてここに表示されます。 三角形が 2 次元座標で指定されている場合は、フィールド (Az、Bz、および Cz) にゼロを書き込みます。 [計算精度] フィールドで、 をクリックして目的の小数点以下の桁数を設定します。

上の図の側面と角の文字指定は、式に示されている指定に対応しています。 したがって、それらを二等辺三角形の要素と一致させるのに役立ちます。 問題の状態から、どの要素が既知であるかを判断し、図面でそれらの指定を見つけて、適切な式を選択します。

二等辺三角形の面積の公式

以下は 二等辺三角形の面積を求める式: 側面、側面、およびそれらの間の角度、側面、底面、および上部の角、底面の側面および底面の角度など。 左の写真で最も適したものを見つけてください。 最も興味深いのは、右側のテキストで、式が正しい理由と、それが面積を求めるためにどのように使用されるかを説明していることです。

1. 見つけることができます その側面と基盤を知る. この表現は、より一般的で普遍的な公式を単純化することによって得られました。 ヘロンの公式を基本として、三角形の 2 辺が等しいことを考慮すると、式は図に示す式に簡略化されます。
   このような式を使用する例は、以下の問題を解決する例に示されています。
2. 2 番目の式を使用すると、その面積を見つけることができます 側面とそれらの間の角度を通して辺の間の角度の正弦を掛けた辺の二乗の半分です。
   二等辺三角形の一辺の高さを精神的に下げると、その長さは a * sin β に等しくなることに注意してください。 側面の長さがわかっているので、そこに落とした高さがわかり、それらの積の半分であり、指定された二等辺三角形の面積に等しくなります (説明: 完全な積は、の面積を与えます\u200b\u200b. 明らかな長方​​形. 高さはこの長方形を 2 つの小さな長方形に分割します, 三角形の辺はそれらの対角線であり、それらを正確に半分に分割します.したがって, 二等辺三角形の面積と辺と高さの積の半分に等しい)。 フォーミュラ 5 も参照
3. 3 番目の式は面積を示します。 側面、底面、頂角を通して.
   厳密に言えば、二等辺三角形の角度の 1 つを知っていれば、残りを見つけることができるため、この式または前の式の適用は好みの問題です (ちなみに、それらの 1 つしか覚えられません)。
   3 番目の式には、もう 1 つの興味深い特徴もあります。 罪ベースまで下げた高さの長さを教えてくれます。 その結果、単純で明白な式 5 が得られます。
4. 二等辺三角形の面積見つけることもできます ベースの側面とベースの角度を通して(底辺の角度は等しい) 底辺の 2 乗を、その辺が形成する角度の半分の 4 つの接線で割ったもの。 よく見ると、底辺 (b/2) の半分に tg(β/2) を掛けると、三角形の高さが得られることが明らかになります。 二等辺三角形の高さは二等分線と中央値の両方であるため、tg(β/2) は高さに対する底辺 (b/2) の半分の比率です - tg(β/2) = (b/2) /h。 ここで、h = b / (2 tg(β/2)) です。 その結果、式は再び単純な式 5 に縮小されます。これは非常に明白です。
5. もちろん 二等辺三角形の面積頂点から底辺まで高さを下げると、2 つの直角三角形が得られます。 さらに - すべてが明らかです。 高さ×底辺の積の半分必要な領域です。 この式の使用例は、以下の問題を参照してください (2 番目の解決方法)
6. この式は、二等辺三角形の面積を見つけようとすることによって得られます ピタゴラスの定理を使って. これを行うには、前の式から高さを表現します。これは、ピタゴラスの定理を通じて、側面、底辺の半分、および高さによって形成される直角三角形の脚でもあります。 側面は斜辺なので、側面の 2 乗 (a) から 2 番目の脚の 2 乗を引きます。 それは底の半分 (b / 2) に等しいので、その二乗は b 2 / 4 に等しくなります。 この式のルートを抽出すると、高さが得られます。 式 6 でわかるように、分子と分母を 2 倍し、分子の 2 をルート記号の下に入力すると、同じ式の 2 番目のバージョンが得られます。これは、等号を介して記述されます。
   ちなみに、最も賢い人は、式 1 で括弧を開くと、式 6 に変わることがわかります。逆に、2 つの数値の 2 乗の差を因数に分解すると、元の式が得られます。最初の1つ。

表記、これらは図の数式に適用されました。

a- 三角形の 2 つの等しい辺のうちの 1 つの長さ

b- ベースの長さ

α - 底辺の 2 つの等しい角度のうちの 1 つの値

β - 三角形の等しい辺とその底辺の反対側の間の角度

時間- 二等辺三角形の頂点から底辺まで下げた高さの長さ

重要. 変数の表記に注意！ 混乱しないで α と β, としても aと b!

ノート. これは、ジオメトリに関するタスクのレッスンの一部です (二等辺三角形の領域を分割します)。 解決が困難なタスクは次のとおりです。 ここにないジオメトリの問題を解決する必要がある場合は、フォーラムに書き込んでください。 問題を解く際に平方根を抽出する動作を表すために、記号√またはsqrt（）を使用し、根号式を括弧内に示します.

仕事

第1の方法. ヘロンの公式を適用します。 三角形は二等辺三角形なので、より単純な形になります (上記の式のリストの式 1 を参照してください)。

ここで、a は辺の長さ、b は底辺の長さです。
問題の条件から三角形の辺の長さの値を代入すると、次のようになります。
S \u003d 1/2 * 10 * √ ((13 + 5) (13 - 5)) \u003d 5 √ (18 * 8) \u003d 60 cm 2

2番目の方法。 ピタゴラスの定理を当てはめてみましょう
最初の解で使用した式を覚えていないとしましょう。 したがって、頂点 B から底辺 AC までの高さ BK を下げます。
二等辺三角形の高さは底辺を二等分するので、底辺の半分の長さは
AK = AC / 2 = 10 / 2 = 5cm。

二等辺三角形の底辺と辺の半分を持つ高度は、直角三角形 ABK を形成します。 この三角形では、斜辺 AB と脚 AK がわかっています。 ピタゴラスの定理により、2 番目の脚の長さを表します。